Christian Schweitzer, TGM Wien
 

Mathematische Inhalte:

Kurzzusammenfassung:

Mediales Umfeld:

1. Einleitung:

In der numerischen Mathematik geht es um die zahlenmäßige Berechnung von Größen, die durch Formeln oder Gleichungen und numerischen Eingangsdaten gegeben sind. Dieser oft letzte Schritt bei der Lösung eines Problems ist von entscheidender Bedeutung bei der Anwendung eines mathematischen Modells. Erst der Zahlenwert einer Ausgangsgröße setzt sie zur Realität in Bezug. Für das Rechenverfahren verwendet man den Begriff Algorithmus.

Bei jedem Algorithmus werden zwangsläufig Fehler auftreten. Diese Fehler beruhen nicht auf Irrtum oder falschem Vorgehen. Sie sind in der Tatsache begründet, dass man nicht mit reellen Zahlen rechnen kann, weil die Stellenzahl durch den Speicher und die Rechenzeit begrenzt ist. Ziel der numerischen Mathematik ist es, diese Fehler in angebbaren Grenzen zu halten.

Mit dem Einsatz von Computern für praktische Zwecke des Rechnens, für Steuerungs- und Regelungsaufgaben bekommt dieser Zweig der Mathematik eine besondere Bedeutung:

• Auf der einen Seite macht begrenzte Speicherkapazität und dadurch begrenzte Genauigkeit bei der Eingabe und Ausgabe von Zahlen numerische Verfahren notwendig. Das Wissen um Entstehung bzw. Vermeidung von Fehlern ist hier wesentlich.

• Andererseits können durch die enormen Rechenleistungen Lösungen zu Problemen rasch ermittelt werden, die früher wegen des hohen Rechenaufwandes niemand in Angriff genommen hätte.

Eine besondere Bedeutung haben numerische Verfahren in der Mess- und Regelungstechnik. Dort liegen zusätzlich Messwerte vor, die in die Berechnung einfließen. Diese Messwerte werden über Sensoren ermittelt und sind fehlerbehaftet. Will man zum Beispiel die Abhängigkeit einer Größe y von einer Größe x bestimmen, so nimmt man eine Messreihe auf. Es werden für bestimmte Werte von x die y-Messwerte ermittelt. Klarerweise ist es dabei nicht möglich, in einem Intervall stetig alle (unendlich viele) (x,y)-Wertepaare zu erfassen. Wir erhalten diskrete Messpunkte. Den stetigen funktionellen Zusammenhang zwischen x und y erhalten wir durch "Suchen" einer Funktion, die möglichst genau zu den Messpunkten und zum (physikalischen) Modell passt. Bei der Ermittlung von Koeffizienten treten dabei auch Funktionen als Lösung auf.

Viele numerische Methoden sind in Taschenrechnern oder CAS bereits fertig implementiert. Trotzdem ist es wesentlich, im Unterricht auf die Funktion, die Möglichkeiten und Grenzen der numerischen Algorithmen einzugehen. Dadurch sollen die Schüler lernen, mit diesen Werkzeugen richtig und nicht unreflektiert umzugehen.

Es handelt sich im Folgenden nicht um fertige Stundenbilder zur "Numerischen Mathematik", sondern nur um eine Zusammenstellung der wichtigsten Aspekte zu diesem Thema. Dabei werden auch Verbindungen zur Informatik bzw. Mess- und Regelungstechnik hergestellt. Im Unterricht kommt neben den verschiedenen Algorithmen vor allem auch dem Rechnen mit Zahlen im Allgemeinen eine große Bedeutung zu. Bei einzelnen Begriffen und Methoden kann auf Beiträge früherer AMMU-Aussendungen verwiesen werden.

2. Rechnen mit Zahlen

Zahlensysteme

Zur Darstellung von Zahlen wird üblicherweise das Dezimalsystem (decem lat. zehn) mit der Basis 10 benutzt (zehn Finger). Die Zahlen bestehen aus den 10 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Je nachdem, an welcher Stelle der Zahl eine Ziffer steht, hat sie einen entsprechenden Wert (Stellenwertsystem):

Hunderterstelle	Zehnerstelle	Einerstelle
3	4	5

Jede Stelle entspricht also einer Potenz der Basis 10.

Bei der Verarbeitung von Daten mit dem Computer wird in ein anderes Zahlensystem umgerechnet. Die sicherste Darstellung einer Information erfolgt, wenn nur zwei Zustände zugelassen werden.

Beispiele:

Ein Computer besteht im Prinzip nur aus elektronischen Schaltern, den Transistoren. Die zwei möglichen Zustände werden mit 0 (Null) und 1 (Eins) bezeichnet. Das führt zu einem Zahlensystem mit der Basis 2, dem binären Zahlensystem (auch duales Zahlensystem).

Die Werteberechnung erfolgt genauso wie beim Dezimalsystem:

Achterstelle	Viererstelle	Zweierstelle	Einerstelle
1	1	0	1

Die Informationseinheit, die zwei Zustände annehmen kann ist ein bit (engl.: binary digit).

Da binäre Zahlen sehr lang werden und man sich diese Null-Eins-Folgen schwer merken kann, fasst man je 4 bit zu einem neuen System mit der Basis 16 zusammen: Hexadezimalsystem. Man benötigt 16 Ziffern und verwendet 0 bis 9 sowie die erste sechs Buchstaben im Alphabet A bis F.

256erstelle	16erstelle	Einerstelle
C	5	A

Die Information von 8 bit wird mit einem Byte (engl.: by eight) bezeichnet. 1 Byte kann 256 verschiedene Zustände darstellen. Dies reicht aus, um alle häufig gebrauchten Zeichen zu codieren.

Ein Halbbyte (nibble) besteht aus 4 bit und ist die Grundlage für das Hexadezimale Zahlensystem. 

Während man bei der Codierung von Zeichen beliebige Zuordnungen treffen kann, erfolgt die Umrechnung von Zahlen nach streng mathematischen Vorschriften.

Überblick über die Zahlensysteme

Zahlensystem	Basis	Ziffern	Beispiel:
binär, dual	2	0, 1
dezimal	10	0, ... 9
hexadezimal	16	0, ... 9, A, ... F

Darstellungsfehler

Da ständig numerische Ergebnisse mit Rechenhilfsmitteln ermittelt werden, ist es sinnvoll näher auf die Maschinen(Computer)arithmetik einzugehen. (Siehe AMMU-Aussendung [1]-Beitrag 3 von Wilfried Rohm) Hier bietet sich eine Zusammenarbeit mit den EDV-Unterricht an. Der Maschinenzahlenbereich ist begrenzt (Speicher). Verknüpfungen von Maschinenzahlen bleibt im Allgemeinen nicht in diesem Bereich, eine Division kann periodisch werden und würde daher unendlich viel Speicherplatz benötigen.

Irrationale Zahlen oder periodische Dezimalbrüche sind in dezimaler Schreibweise nicht exakt darstellbar, da der Dezimalbruch abgebrochen werden muss - es steht weder Platz noch Zeit für unendlich viele Stellen zur Verfügung.

Auch bei der Umrechnung von einer exakten Dezimalzahl (mit endlich vielen Stellen) in die entsprechende binäre Darstellung kann diese unendlich periodisch werden. (z.B. 0,6 dezimal entspricht 0,100110011001100... binär)

Zur eindeutigen Darstellung für jede Maschinenzahl verwendet man die normierte Gleitkommadarstellung. Bei jedem Rechenschritt muss das Ergebnis gerundet oder abgeschnitten werden, das heißt auf Maschinenzahlen reduziert werden. Weiters werden bei der Ein- und Ausgabe die Zahlen nicht nur in das System der entsprechenden Basis konvertiert, sondern auch auf Maschinenzahlen bzw. das gewünschte Ausgabeformat reduziert.

Rechnen ohne Hilfsmittel

Numerisches Rechnen ohne Hilfsmittel sollte trotz moderner Taschenrechner und CAS gefördert und geübt werden. Dazu zählen Kopfrechenübungen, Rechnen mit Zahlen in Gleitkommadarstellung, Abschätzen der Größenordnung durch Überschlagsrechnung, Herstellen eines Zusammenhangs mit der Aufgabenstellung. (Siehe AMMU-Aussendung [10]-Beitrag 6 von Wilfried Rohm)

Rechnen mit dem Taschenrechner

Sowohl die sichere Handhabung als auch die Probleme beim Umgang mit Taschenrechnern sollten Thema des Unterrichts sein. Das bedeutet, es muss Unterrichtszeit investiert werden, in der man den Schülern die richtige und effiziente Verwendung des Taschenrechners zeigt. Dabei ist es natürlich von Vorteil, wenn die Schüler eines Jahrganges den gleichen Rechnertyp verwenden. (Siehe AMMU-Aussendung [1]-Beitrag 9 von Peter Schüller)

Rechnen mit Tabellen

Bei vielen praktischen Aufgabenstellungen ist es notwendig, Zahlenwerte aus Tabellen zu entnehmen. Daher sollte auch der richtige Umgang mit Tabellen erklärt und regelmäßig geübt werden.

Grafische Ermittlung von Ergebnissen

Oft ist es leicht möglich mit einer maßstabgerechten Skizze Zahlenwerte und Größenordnungen abzuschätzen.

3. Aufgabenstellungen in der Messtechnik

Aufgrund der großen Bedeutung der numerischen Mathematik in der Messtechnik wird nun kurz auf die grundlegende Aufgabenstellung in diesem Bereich der Technik eingegangen. Im Sinne eines fächerübergreifenden Unterrichts ist dieser Bereich besonders für Mathematiker interessant.

Die Messtechnik hat die Aufgabe Messgrößen eines (technischen) Prozesses aufzunehmen, die erhaltenen Messsignale umzuformen und umzusetzen (Messwerterfassung) und die gebildeten Messwerte so zu verarbeiten (Messwertverarbeitung), dass das gewünschte Messergebnis (die Zielgröße) erreicht wird.

Beim heutigen Stand der Technik werden zur Erfüllung der gestellten Aufgaben zunächst in aufeinanderfolgenden Messgliedern, möglichst direkt, digitale Messsignale gebildet. Diese Signale werden von einem Mikrorechner entsprechend verarbeitet. Ein Rechner speichert dieses dezentral gebildete Messergebnis und stellt über eine Sammelleitung (Bus-Line) einem übergeordneten System (Automatisierung, Messwertaufnahme, Überwachung) zyklisch oder auf Abfrage zur Verfügung.

In entsprechenden Messeinrichtungen formen zunächst Aufnehmer (Sensoren) die zu messenden (nichtelektrischen) physikalischen Größen in elektrische Messsignale um. Diese elektrischen Signale werden häufig so aufbereitet und umgeformt (Messumformer zu Signalanpassung), dass genormte analoge Messsignale gebildet werden. Daran schließen Analog-Digital-Wandler an, die die Umwandlung in digitale Messignale übernehmen (Digitalisierung). Nach der Messwertverarbeitung im Mikrorechner stehen dann die gewünschten Informationen zur Verfügung, die dann digital oder analog ausgegeben werden können.

Der Aufwand für die Durchführung einer Messung kann sehr unterschiedlich sein. Er hängt von Genauigkeitsanforderungen, Störungseinflüssen und den Komponenten der Messkette ab. Anforderungen an die einzelnen Komponenten (Messglieder) einer Messkette: genau, störunempfindlich, schnell, zuverlässig und kostengünstig. Nur für wenige Messaufgaben stehen Komponenten zur Verfügung, die möglichst direkt das Messergebnis liefern.

In Messsystemen spielen lineare Umformungen eine wesentliche Rolle. Wegen nichtidealer Messglieder (besonders der Sensoren) sind die Messsignale in ungewollter Weise verfälscht. Die auf physikalischen oder chemischen Effekten beruhenden verfügbaren Sensoren formen zwar die nichtelektrischen Größen in elektrische Messignale um, sie haben aber meist nichtideales Verhalten bezüglich statischer und dynamischer Übertragungseigenschaften und Zuverlässigkeitsanforderungen. Oft ist auch der Informationsgehalt einer Einzelmessung oder eines einzelnen Sensors ungenügend. Deshalb sind zusätzliche Messsignalverarbeitungsmaßnahmen notwendig.

Beispiele:

• Durchflussmessung nach dem Wirkdruckverfahren: erst nach Radizierung (Wurzelziehen) der nichtlinearen Differenzdruckkennlinie erhält man den gewünschten Durchfluss.

Mengenmesser für hohen Druck mit mechanischer Radizierung: Der Waagebalken auf dem Schneidenlager folgt dem Schwimmer magnetisch und zieht über die Kuppelstange die Kurvenscheibe nach. Auf dieser rollt die Fühlrolle des Schreibzeugs ab. Das Messrohr ist aus unmagnetischem Stahl. Die Gummikegel am Schwimmer sichern vor Durchschlag Prinzip der Radizierung einer Anzeige links: Richtkraft entsteht durch tiefe Lage des Schwerpunktes S rechts: Richtkraft durch hängendes Richtgewicht am Kreissegment

 oder elektrisch mit OP-Schaltung bzw. digital berechnet

• Bei Kraft oder Druckmessung beeinflusst die Temperatur (störende Einflussgröße) den Verlauf des Ausgangssignals (Widerstandsänderung). (strukturelle Maßnahmen, rechnerische Korrektur bei bekannten physikalischen Modell)

• verzögerte Messsignale bei Temperaturmessungen können dynamisch korrigiert werden, wenn Struktur und Modellparameter bekannt sind.

• sicherheitsrelevante Anwendungen (Reaktor, Raumfahrt) benötigen Redundanz und/oder Diversität. Unnötige Abschaltungen sollen vermieden und das Erkennen von Gefahren sichergestellt werden.

• elektrische Leistung (P = U . I ) oder mechanische Leistung ( P = M . w )

• Objekterkennung - Bildmustererkennung: Mit Korrelationsfunktionen werden Ähnlichkeiten zu eingespeicherten Objekten aufgrund bestimmter Merkmalsvektoren bestimmt.

4. Fehler

Das erreichbare Genauigkeitsniveau (Zur numerischen Stabilität von Algorithmen und Rechnergenauigkeit siehe AMMU-Aussendung [1]-Beitrag 3 von Wilfried Rohm)

eines Rechenverfahrens ist durch

• die Genauigkeit der Daten, Messfehler

• Verfahrensfehler (z.B. Taylorreihenentwicklung)

• Modellfehler

• Rechenfehler (Fehlerfortpflanzung)

gegeben.

Für die entsprechende Aufgabe muss ein Algorithmus gefunden werden, der einen Fehlerzuwachs möglichst gering hält. Das heißt vorhandene Fehler sollen durch Kombinationen im Verfahren bzw. Modell nicht größer werden.

Das gewünschte Genauigkeitsniveau ist durch die Anwendung festgelegt und kann geringer sein, als das erreichbare Niveau. Größere Genauigkeit erfordert mehr Aufwand.

Ein Ergebnis, das die Genauigkeitsanforderungen erfüllt, wird akzeptables numerisches Ergebnis genannt. Im Allgemeinen existieren unendlich viele akzeptable numerischen Ergebnisse und auch mehrere Wege, sie zu erhalten. Ziel ist es daher, ein akzeptables Ergebnis möglichst effizient, d.h. mit geringem Aufwand (Entwicklung, Rechenzeit, einfach zu realisierende Methode, ...), zu erreichen. Die Zeit spielt vorallem bei Regelungen eine große Rolle. Unter Umständen ist die Genauigkeitsanforderung aufgrund der Informationsunschärfe (Messfehler) der Eingangsgrößen nicht erreichbar.

Man unterscheidet beim Fehler zwischen einem Näherungswert x_n und dem exakten Wert x_e :

Eine Fehlerabschätzung ist durch angenäherte Fehlerbestimmung möglich, wenn man den Algorithmus des Verfahrens kennt. Fehlerfortpflanzung ist die Auswirkung des Eingangsfehlers auf den Fehler der Ausgangsgröße.

Messglieder haben statische (eingeschwungener Zustand) und dynamische (von der Zeit abhängige) Eigenschaften. Hier soll nur die statische Kennlinie eines Messglieds betrachtet werden:

Man strebt einen linearen Zusammenhang zwischen Eingangsgröße x und Ausgangsgröße y an und erhält die Sollkurve ys. Die statische Kennlinie eines Messgliedes gibt den realen Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangsgröße wider: Istkurve yi.

Begriffe: Messbereich:        Ausgangsspanne: Fehler: unerwünschte Abweichung des Istwertes vom Sollwert Genauigkeit: vom Fehler abhängig Empfindlichkeit: entspricht der Steigung der Kennlinie

5. Näherungen

Beim Entwickeln eines mathematischen Modells ist es oft wichtig, schon im Ansatz Näherungen vorzunehmen, um die Rechnung nicht unnötig zu komplizieren. Manchmal ist der exakte Ansatz auch direkt nicht lösbar, wie das folgende Beispiel zeigt:

Bei der Bestimmung der Schwingungsdauer eines ebenen Pendels liefert die Modellbildung ein mathematisches Problem. Unter bestimmten Voraussetzungen sind folgende Vereinfachungen (Modellfehler) zulässig:

Es gibt keine Dämpfung. Die schwingende Masse m ist in einem Punkt konzentriert. Stange mit der Länge l ist massefrei und starr. Diese Vereinfachung führt zum Modell des "mathematischen Pendels". Für den Winkel j als Funktion der Zeit ergibt sich aus dem 2. Newton Axiom die Differentialgleichung Diese ist nicht in geschlossener Form lösbar, sodass man trotz des verinfachten Modells zu einer Näherung für kleine Winkel übergeht:

Näherungsweise Lösung von Gleichungen

Das Lösen von Gleichungen kann nach eventueller Umformung auch als "Suchen" einer Nullstelle gesehen werden. Man ist dabei durchaus auch durch Probieren (siehe AMMU-Aussendung [4]-Beitrag 2 von Jörg Kliemann) mit einer grafischen Darstellung und Wertetabellen in der Lage, ans Ziel zu kommen. Eine Unterstützung beim Erstellen von Wertetabellen bieten Tabellenkalkulationen oder die Tabellenfunktion des TI-92. (Kutzler Bernhard, Symbolrechner TI-92, Kapitel 2)

Spezielle Verfahren (Regula falsi, Newton-Verfahren) (siehe AMMU-Aussendung [1]-Beitrag 2 von Peter Schüller, AMMU-Aussendung [7]-Beitrag 4 von Volker Traxler) zeigen im Vergleich dazu den Schülern die Effizienz eines numerischen Algorithmus, mit dem man in wenigen Schritten ein Ergebnis in der geforderten Genauigkeit erreicht.

6. Interpolation

Bei einem Interpolationsverfahren wird eine Funktion y = f(x) im Bereich von Stützstellen durch einfachere Funktionen ersetzt, die in diesem Bereich dir ursprüngliche Funktion möglichst gut annähern. Zu den Stützstellen können auch noch Ableitungen gegeben sein. Die Funktion wird durch Linearkombination von Standardfunktionen (z.B. Interpolationspolynome) (siehe AMMU-Aussendung [8]-Beitrag 4 und [9]-Beitrag 2 von Roland Pichler) ersetzt. Im einfachsten Fall wird die Funktion in einem Intervall durch eine lineare Funktion angenähert: Lineare Interpolation.

Interpolationsmethoden wurden in erster Linie ausgearbeitet, um Zwischenwerte von Funktionen zu bestimmen, die in Form von Tabellen vorlagen. Heute haben diese Anwendungen durch die Verwendung von Taschenrechnern und Computern an Bedeutung verloren. Interpolationsverfahren bilden aber die Grundlage für die numerische Differentiation und Integration. Die einzelnen Interpolationsmethoden stehen in engem Zusammenhang mit den Differenzenschema und können daraus abgeleitet werden.

Splineinterpolation

Ist eine große Anzahl von Stützstellen vorgegeben, so ist die Berechnung von Interpolationspolynomen entsprechend hohen Grades sehr aufwendig. Interpolationspolynome sind zwar beliebig oft differenzierbar, haben aber den Nachteil, dass sie mit wachsender Zahl von Stützstellen, d.h. mit wachsendem Grad, stark zu schwanken beginnen. Damit entstehen unter Umständen große Abweichungen von der zu interpolierenden Funktion zwischen den Stützstellen. Man kann diesen Effekt vermeiden, wenn man die zu interpolierende Funktion in den einzelnen Teilintervallen durch Polynome geringeren Grades ersetzt, die dann stückweise zusammengesetzt werden.

Einfachste Möglichkeit: Interpolation durch eine Sehnenpolygon. Die Strecken schließen dabei an den Stützstellen aneinander an.

Bei der Splineinterpolation wird gefordert, dass die Ableitungen dieser stückweisen polynomialen Funktion bis zu einer gewissen Ordnung stetig sind. Daraus hat sich der Begriff der Splinefunktionen entwickelt.

Die interpolierenden Funktionen zwischen zwei benachbarten Stützstellen sind also die kubischen Splinepolynome S(x). Sie sollen an den Stützstellen zusätzlich zum Funktionswert in der Steigung (erste Ableitung) und Krümmung (zweite Ableitung) stetig sein. Damit erhält man glatte Kennlinienverläufe und maximal einen Wendepunkt in jedem Intervall. In jedem Teilintervall ist die Splinefunktionen also ein Polynom dritten Grades: Durch die n + 1 Stützwerte an den Stützstellen xi mit (i = 0,...,n) werden n Spline-Polynome festgelegt. Für die 4·n Koeffizienten () ergeben sich folgende Bedingungen:

Durch einen geeigneten Ansatz kann man erreichen, dass man nur ein lineares Gleichungssystem mit n – 1 unbekannten lösen muss. Die zweite Ableitung ist in den einzelnen Intervallen eine lineare Funktion, daher ergeben alle einen Polygonzug. Setzt man für , so erhält man ein lineares Gleichungssystem der folgenden Gestalt:

Dabei ist   und   .

Für die Koeffizienten der Splinefunktionen ergibt sich dann:

7. Approximation

Die Anwendung von Interpolationsmethoden ist nicht immer sinnvoll. Zunächst bewirkt eine größere Anzahl von Stützstellen einen höheren Rechenaufwand, ohne dass dadurch auf jeden Fall die Interpolationsfehler kleiner werden. Außerdem ist die Forderung, dass das Interpolationspolynom genau durch die Stützstellen gehen muss vor allem dann nicht gerechtfertigt, wenn diese Funktinswerte experimentell (durch Messung) bestimmt wurden. Messwerte sind immer mit Fehlern behaftet. (siehe AMMU-Aussendung [8]-Beitrag 6 von Christian Schweitzer)

In solchen Fällen versucht man, die gegebene Funktion f(x) in einem Intervall durch eine Approximationsfunktion g(x) annähernd darzustellen. Die Güte der Annäherung kann man zum Beispiel nach Gauß durch das mittlere Fehlerquadrat bestimmen:

Die Ermittlung von Regressionspolynomen erfolgt meist nach der "Methode der kleinsten Quadrate".

Diese Methode basiert auf der Minimierung des eben definierten mittleren Fehlerquadrats.

8. Numerische Integration (siehe AMMU-Aussendung [3]-Beitrag 1 von Roland Pichler)

Einfache Methoden der numerischen Integration erleichtern das Verständnis für das Integrieren allgemein.

9. Differentialgleichungen

Siehe Beitrag "Diskrete Mathematik" in dieser Aussendung.