Mathematische Inhalte:

Bei Stichprobensystemen handelt es sich um eine leicht verständliche Methode der statistischen Qualitätssicherung. Stichproben ersetzen in vielen Fällen 100-%-Prüfungen, insbesondere bei zerstörenden Prüfungen oder Prüfungen an nicht allzu kritischen Teilen (d.h. ein gewisser durchschlüpfender Fehleranteil kann verkraftet werden.) bzw. Prüfungen, die sonst nicht wirtschaftlich durchführbar sind.

In der Praxis wird eine Vielzahl unterschiedlicher Stichprobensysteme verwendet. Wir wollen uns auf den einfachsten und bekanntesten Fall einer sogenannten Einfachstichprobenanweisung für qualitative Merkmale beschränken. "Qualitativ" soll heißen, daß die Prüfung eines Teiles nur auf der Basis gut oder schlecht (bzw. fehlerfrei oder fehlerhaft) erfolgt.

Beispiel :

Monatlich werden 20.000 Spritzgußteile bestimmter Spezifikation an eine Firma geliefert. Der Lieferant hat zugesichert, daß höchstens 1% dieser Spritzgußteile unbrauchbar sind. Damit erklärt sich die Firma einverstanden, jedoch soll diese Angabe des Lieferanten im Wareneingang stichprobenartig überprüft werden. Aus der Norm DIN ISO 2859-1 (AQL-Stichprobensystem) wurde folgende Stichprobenanweisung herausgelesen:
 

Was bedeutet diese Stichprobenanweisung ?

Aus dem Losumfang N=20.000 soll eine Stichprobe von n=315 Spritzgußteilen entnommen und geprüft werden. Die Zahl c wird Annahmezahl genannt, das bedeutet: Sind bis zu 7 fehlerhafte Teile unter den 315 geprüften Teilen, so gilt das Los im obigen Sinne als "o.k." und wird angenommen. Werden mehr als 7 fehlerhafte Teile gefunden, so wird das Los abgelehnt bzw. rückgewiesen. Was dann zu tun ist, muß vertraglich geregelt sein (z.B.: Reklamation / Rücksendung an den Lieferanten).

2. Fragestellungen

Offensichtlich ist eine Stichprobenentnahme mit einem bestimmten Risiko verbunden.

• So können etwa "zufälliger Weise" mehr als 7 schlechte unter den 315 untersuchten Teilen sein, obwohl in der gesamten Lieferung der Ausschußprozentsatz kleiner als 1% ist.
• Auf der anderen Seite könnte es sein, daß "zufälliger Weise" die Anzahl der gefundenen Schlecht-stücke £ 7 ist, obwohl der Ausschußprozentsatz in der gesamten Lieferung größer als 1% ist.

 a) Wie groß ist beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, daß die Lieferung angenommen wird, wenn die Lieferung p gerade 2% fehlerhafte Teile enthält ?

3. Die Operationscharakteristik einer n-c-Stichprobenanweisung

Die Operationscharakteristik soll die obige Frage 2a) beantworten. Wir wollen in einem Diagramm darstellen, bei welchem Ausschußprozentsatz p welche Annahmewahrscheinlichkeit Pa gemäß der n-c-Stichprobenanweisung gegeben ist. Damit erhält man auch Einblick in die möglichen Risiken einer Stichprobenanweisung im Vergleich zu einer wirklich "sicheren" 100%-Prüfung (die es in der Praxis bestenfalls nur bei Automateneinsatz geben kann)
 

Durchaus reizvoll ist es, zunächst eine Vermutung aufzustellen, wie dieses Operationscharakteristik im Vergleich zur 100%-Prüfung aussieht.  Bei der 100%-Prüfung gibt es einen vereinbarten Schlechtanteil p1, bis zu dem die Lieferung mit Wahrscheinlichkeit 1 angenommen wird. (p1 wäre im Beispiel aus dem 1.Abschnitt 1%) Die strichlierte Linie stellt eine mögliche Vermutung für den Verlauf der Operationscharakteristik einer Stichprobenanweisung (etwa 315-7) dar, die allerdings nicht dem tatsächlichen Ergebnis entspricht.

Wie berechnet man diese Annahmewahrscheinlichkeiten Pa ?

Prinzipiell liegt hier eine Situation vor, auf die das Modell der Hypergeometrischen Verteilung zutreffen würde. Im vorliegenden Beispiel und in den meisten Fällen der Praxis ist jedoch die Losgröße N recht groß im Vergleich zu n, sodaß die Näherung durch die Binomialverteilung möglich und sinnvoll ist. Recht häufig wird (gerade im Bereich der Stichprobensysteme) die Näherung durch die Poissonverteilung (Parameter m = n× p ) verwendet, die ja typischerweise für kleines p und relativ großes n Anwendung findet. Außerdem findet die Poissonverteilung bekanntlich dann Verwendung, wenn nicht fehlerhafte Einheiten (® Binomialverteilung) sondern Fehler pro Einheit gezählt werden (z.B. Lackfehler je m², Isolationsfehler je km Draht, ...).

Das Los wird angenommen, wenn höchstens c fehlerhafte Einheiten (bzw. Fehler/Einheit) gefunden wurden. Unabhängig von der verwendeten Verteilung gilt daher:

G(x) ist dabei die Verteilungsfunktion der gewählten Verteilung.

g(x) ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der gewählten Verteilung

Zur Umsetzung auf ein CAS-System definieren wir uns zunächst die benötigten Verteilungen :

Mit Hilfe der obigen Funktionen werden nun die Annahmewahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von p definiert - das ist dann die Operationscharakteristik (kurz "OC").

 In DERIVE ist es zum Zeichnen der Kurve sinnvoll, den zu zeichnenden Bereich auf p[0,1] einzuschränken. Dies kann mit Hilfe der Indikatorfunktion CHI(0,p,1) erfolgen.

 Damit können nun die nachfolgenden Kurven gezeichnet und mit den Ergebnissen zur Vertiefung des Verständnisses der Operationscharakteristik herumexperimentiert werden. Die Abbildungen sollen hierzu nur als mögliche Beispiele bzw. Anregungen dienen.
 

Abb.1: OC der Anweisung 315-7	Abb.2 : OC der Anweisung 50-2

 
 

Abb.3 : Vergleich verschiedener OC´s :  Einfluß der Annahmezahl c	Abb.4 : Vergleich verschiedener OC´s:  Einfluß des Stichprobenumfanges n

Interpretation von Abb.1 - Abb.4 :

•  Je größer n und je kleiner p, desto besser wird die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung approximiert. In Abb.1 liegen die beiden Kurven direkt übereinander, in Abb.2 ist erst für größeres p ein optischer Unterschied wahrnehmbar.

• Je kleiner die Annahmezahl c (bei gleichbleibendem Stichprobenumfang n) ist, desto steiler verläuft die OC, was wiederum bedeutet, daß die Trennschärfe der Stichprobenanweisung größer wird (Abb. 3). Analog gilt dies selbstverständlich für größer werdendes n bei gleichbleibendem c (Abb. 4).

Wie groß ist die Annahmewahrscheinlichkeit für ein bestimmtes p ?

Dazu braucht nur in die oben definierte Funktion ein spezieller Wert für p eingesetzt werden. Beispielsweise liefern :

 Es sei p_ß jener Fehleranteil, bei dem die Annahmewahrscheinlichkeit ß % beträgt.

2 spezielle Punkte der OC (meist [p₉₀ | 90%] und [p₁₀ | 10%] (eventuell auch das Verhältnis ) werden in der Praxis gerne für die Charakterisierung einer Stichprobenanweisung herangezogen.

 Aus diesem Grund gibt es entsprechende Tabellen, die auszugsweise im Anhang wiedergegeben werden. Beispielsweise liefern die Gleichungen

 Pa_BI(315,7,p)=0.9

PO_PO(315,7,p)=0.9

nach SOLVE den Wert für p₉₀ : p = 0.0148366 (mit der Binomialverteilung)

p = 0.0147813 (mit der Poissonverteilung)

Allerdings gelingt die Berechnung hier nur numerisch (d.h. man muß vorher OPTIONS | PRECISION auf APPROXIMATE stellen). Außerdem benötigt die Berechnung über die Binomialverteilung deutlich mehr Zeit.

Dies wäre eine Möglichkeit, auf die Lösbarkeit algebraischer Gleichungen einzugehen bzw. dies an dieser Stelle zu wiederholen. Bei der Berechnung über die Binomialverteilung ist für dieses Beispiel folgende Gleichung 315.Grades zu lösen:

(p-1)^308× (5.58× 10^13× p⁷+1.24× 10^12× p⁶+2.39× 10^10× p⁵+3.82× 10^8× p⁴+4.92× 10^6× p³+47586× p²+308× p+1) = 0.9

Außerdem ist für die Berechnung der numerischen Lösung die Angabe des Suchintervalls erforderlich. Bei ungünstiger Wahl können "falsche" Ergebnisse herauskommen !

Es ist daher hier auch die direkte Anwendung des SOLVE-Befehles sinnvoll. Zum Beispiel bedeutet die Anweisung

SOLVE(Pa_PO(315,7,p)=0.9 , p , 0 , 0.10)

die Suche nach einer Lösung im Intervall [0,0.10].

Wir wollen uns nun an die Beantwortung der Fragen aus 2b) und 2c) machen. Unter Durchschlupf versteht man den mittleren Anteil der fehlerhaften Teile des Loses, der die Prüfung passiert ohne aussortiert worden zu sein. (In der Fachliteratur wird der Durchschlupf auch AOQ-Wert genannt = "Average Outgoing Quality")

In einer ersten NÄHERUNG können wir uns daher überlegen: Der Anteil der fehlerhaften Teile (p) muß mit der Wahrscheinlichkeit multipliziert werden, daß das Los angenommen wird (Pa). Das Ergebnis muß schließlich noch mit dem Anteil der nicht geprüften Teile im Los () multipliziert werden (da ja selbstverständlich fehlerhafte Teile, die in der Stichprobe gefunden wurden, aussortiert werden). Wir erhalten also:

Die Gleichung  liefert als Lösung p_AOQL und daher ist: D_max = AOQL = D(p_AOQL)

Ähnlich wie bei der Berechnung von p_ß ist aber auch hier im allgemeinen eine algebraische Gleichung höheren Grades zu lösen, die meist nur numerisch zu lösen ist.
 

Graphische Darstellung:  Nebenstehend sind einige Durchschlupfkurven für die Anweisung  n-c = 315-7 dargestellt. Man erkennt, daß für große N die Kurve gegen die Grenzfunktion D » Pa× p wandert. Ferner ist ersichtlich, daß als konstanter Faktor die Lage des Maximums (also pAOQL) nicht beeinflußt.

 
 

Zurück zum eingangs formulierten Beispiel:  Nebenstehende Abbildung zeigt in der Gegenüberstellung die OC und Durchschlupfkurve der n-c-Anweisung  315-7 Bei Berechnung mit Hilfe der Poissonverteilung erhält man :  pAOQL = 1,84 %     pmax = AOQL = 1,397 %     Die Binomialverteilung liefert: fast das gleiche Ergebnis.

 5. Ausblick:

Die hier vorgeführten Berechungen und Funktionsdarstellungen lassen sich relativ leicht auf andere Stichprobensysteme ausweiten (Doppelstichprobensysteme, Mehrfachstichprobenpläne, messende Prüfung). Für den Mathematikunterricht scheint mir aber die hier gezeigte Besprechung der qualitativen Einfachstichprobenanwesiungen (n-c) ausreichend zu sein.

ANHANG:

A. Literaturverzeichnis:

[1] TIMISCHL, Qualitätssicherung, 2.Auflage, Carl Hanser Verlag München Wien 1995.

[2] FRANZKOWSKI, Stichprobensysteme, Lehrgang der Deutschen Gesellschaft für Qualität (DGQ), Frankfurt 1986.

[3] SCHÄRF, Mathematik 4 für HTL, 5.Auflage (Neubearbeitung), Oldenbourg Verlag Wien 1995.

B. Ausschnitt aus Tabellen für genormte Stichprobenanweisungen (nach [2])

In den Tabellen bedeuten:

 Berechnet mit Hilfe der Poissonverteilung:
 
 
 

n-c	p0,90 (%)	p0,10 (%)	pAOQL (%)
50-0	0,21	4,61	2,0
50-1	1,06	7,78	3,2
50-2	2,20	10,6	4,5
50-3	3,49	13,4	5,9
50-5	6,30	18,6	8,7
80-0	0,131	2,88	1,2
80-1	0,665	4,86	2,0
80-2	1,38	6,65	2,8
80-3	2,18	8,35	3,7
80-5	3,94	11,6	5,4
125-0	0,084	1,84	0,80
125-1	0,426	3,11	1,30
125-2	0,882	4,26	1,82
125-3	1,40	5,35	2,36
125-5	2,52	7,42	3,48
200-0	0,053	1,15	0,50
200-1	0,266	1,95	0,81
200-2	0,551	2,66	1,14
200-3	0,873	3,34	1,48
200-5	1,58	4,64	2,18
200-7	2,33	5,89	2,90
315-0	0,0333	0,731	0,317
315-1	0,168	1,23	0,52
315-2	0,349	1,69	0,72
315-3	0,553	2,12	0,94
315-5	1,00	2,94	1,38
315-7	1,48	3,74	1,84
315-8	1,72	4,13	2,08

C. Berechnungsprotokoll (DERIVE Version 3.0) - Datei RO-STICH.MTH auf der Diskette