Reinhard Simonovits, Klaus Wilding, BHAK Graz
| Maths & Fun |
Mathematische Inhalte:
Quadratische Gleichungen - Vietas Idee
Kurzzusammenfassung:
Didaktisch neue Zugänge zur Visualisierung der Ergänzung zum vollständigen Quadrat. Der Aufbau interaktiver Lernsoftware in Form von Mathamatica-Notebooks wird gezeigt. Die Zusammenhänge zwischen Nullstellen, Determinante und vollständigem Quadrat werden visualisiert. Zur Sicherung des Unterrichtsertrages dient animierte Grafik.
Lehrplanbezug:
2. Jahrgang BHS;
3. und 5. Jahrgang AHS
Zeitaufwand:
Für die gezeigten Kapitel wird man inklusive Übungsphase mit 2 - 3 Unterrichtseinheiten das Auslangen finden.
Anmerkungen:
Die gezeigten Kapitel stellen Auszüge aus einem Lehrgang mit insgesamt 13 Notebooks dar, die im Unterrichtsversuch der BHAK Grazbachgasse seit 2 Jahren im 2. Jahrgang eingesetzt werden. Die Schüler haben den gesamten Kurs auch als Hardcopy vorliegen. Ein Lehrbuch ist nicht mehr notwendig. Der gesamte Kurs kann bei UNI SOFTWARE PLUS im Softwarepark Hagenberg bei DI Exner (tel. 07236 / 3338) erworben werden.
1. Inhalte des Beitrages
In den letzten Monaten ist die Diskussion über neue didaktische Möglichkeiten im Mathe-Unterricht, bzw. über andere Zugänge bei Verwendung des Computers langsam angelaufen. Bisher wurden CAS - Systeme doch dazu verwendet, den herkömmlichen Taschenrechner zu überbieten. Dies scheint uns der falsche Ansatz zu sein. Gerade die Verwendung des PC ermöglicht vollkommen neue Wege und öffnet ein weites didaktisches Feld, das derzeit noch ziemlich brachliegt.
Die Benutzeroberfläche von MATHEMATICA bietet nun genau diese Möglichkeiten, die in Zukunft mehr und mehr den Mathematik- unterricht bestimmen werden. Um den Lesern einen Einblick in die Benutzung eines Mathematica-Notebooks geben zu können, haben wir versucht, den Einstieg in ein Notebook zu zeigen und anschließend den vollständigen didaktischen Aufbau einiger Kapiteln wiederzugeben.
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Interaktive Lernsoftware mit MATHEMATICA
für den Unterricht
an Höheren Schulen
entwickelt und getestet von
Dr. Reinhard Simonovits und Dr. Hans Wilding
email: xhakrvs@mbox.tu-graz.ac.at
Fax: +43-316-82 24 10 21
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Ein Notebook ist wie ein Buch zu lesen. Zuerst sehen wir das Inhalts- verzeichnis. Jedes Kapitel kann durch Doppelklick ausgewählt werden.
0. Tips für Dich
1. Eine quadratische Gleichung
2. Vietas Ergänzung zum vollständigen Quadrat
3. Die Formel von Vieta
4. Magic Diskriminante
5. Lösungen im komplexen Zahlenbereich C
6. Beliebig genau rechnen mit NSolve
7. Tricks mit den Lösungen: Die Sätze von Vieta
8. Faktorisieren der quadratischen Gleichung
9. Ein spannender Zugang
10. Mathematica 2.2.3 Voreinstellungen
In "Tips für Dich" erhalten die Schüler Hinweise über Inhalt und Bedeutung der einzelnen Kapitel.
Wir wählen nun das interessierende Kapitel durch Doppelklick aus. Z.B." Eine quadratische Gleichung" .
Damit sind wir im Kapitel " Eine quadratische Gleichung " gelandet und können nun weiter auswählen
Wir interessieren uns nun für " Unser erstes Beispiel " und öffnen es durch Doppelklick. Jetzt ist unser interaktives Notebook zur Bearbeitung bereit. Am Ende eines Abschnittes gibt es Übungen für das Schülerteam. Sie arbeiten bei uns immer zu zweit am PC.
Unser erstes Beispiel
Wir schauen uns die
quadratische Funktion: y(x) = x^2 - 4 x + 3
genau an:
DasErsteBild = Plot[ x^2 - 4 x + 3, {x,1,5},
PlotLabel-> "Unsere Funktion:y(x) = x^2 - 4 x + 3"];
Du siehst, diese Kurve - sie heißt auch PARABEL 2.Ordnung - schneidet die x-Achse an zwei Stellen. Das ist wichtig. Es gibt also ZWEI Schnittpunkte.
Jetzt kommt der interaktive Teil. Die Schüler messen an der Kurve, probieren andere Kurventypen aus, messen mit dem Cursor die Nullstellen ab. Hier gibt es viel Zeit für das Experimentieren. Die Schüler sehen in dieser Phase, wieviel Schnittpunkte es geben kann.
Ein Wort zum Plotbereich {x, 1, 5}: Die Schüler wissen bereits, damit so umzugehen, daß die Kurve im gewünschten Bereich sichtbar ist.
Die Berechnung mit dem PC
Die genaue Berechnung gelingt mit Solve. Welchen x-Wert müssen wir eigentlich suchen ??
Wir müssen jene x-Werte finden, für die gilt :
x^2 - 4 x + 3 = 0
Jetzt siehst Du Deine erste QUADRATISCHE GLEICHUNG.
Wir geben also ein:
Solve[ x^2 - 4 x + 3 == 0, x ]
{{x -> 1}, {x -> 3}}
Wir erhalten ZWEI Werte für x ! Gleich die Probe:
x^2 - 4 x + 3 /. x -> 1
0
x^2 - 4 x + 3 /. x -> 3
0
Ok.
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Übung
(1.1)
Löse graphisch die Gleichung : x^2 - 1000 x + 210000 = 0.
(Antwortsatz)
Löse sie auch mit Solve und mache die Probe.
Hinweis: Wähle den x Bereich von 100 bis 1000.
(1.2) Überraschung:
Löse graphisch die Gleichung : x^2 - 1000 x + 250000 = 0.
(Antwortsatz)
Löse sie auch mit Solve und mache die Probe.
Hinweis: Wähle den x Bereich von 100 bis 1000.
Uns interessiert nun z.B. das Kapitel "Vietas Ergänzung zum vollständigen Quadrat".
Wir öffnen es wieder durch Doppelklick.
Wir steigen ein und gehen das gesamte 2. Kapitel durch.
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Vieta und sein gutes Gedächtnis . . .
Vieta hatte um 1592 ( 100 Jahre nach Columbus ...) eine Idee:
Das x^2 - 4 x + 3 in der Gleichung x^2 - 4 x + 3 = 0 erinnert mich an (x-2)^2 . Wieso ???
Expand[ (x - 2)^2 ]
4 - 4 x + x2
Eh klar! Zwei Terme sind bereits gleich, nämlich x^2 und - 4x . Also x^2 - 4 x + 3 ist bis auf einen Term gleich (x - 4/2 )^2.
Jetzt bearbeiten die Schüler Übungsbeispiele, etwa x^2 - 7x - 18 = 0.
Finde das Quadrat mit 2 gleichen Termen. Überprüfe Deine Vermutung mit Expand.
Vieta ist schon knapp dran . . .
"Das werden wir auch noch hinkriegen, der Kurventyp stimmt ja", sagte sich Vieta. Nun, der Plot gibt ihm recht.
BeideKurven =
Plot[ { x^2 - 4 x + 3, (x - 2)^2 }, { x,-1,5 },
PlotStyle -> { {},{ Dashing[ {.06,.02} ], Red } },
PlotLabel -> "Unsere Funktion: y(x) = x^2 - 4 x + 3",
Epilog -> { Red, Text["(x - 2)^2", {4,8} ] } ];
Allerdings sind NUR ZWEI Terme gleich, nämlich x^2 und - 4x , der dritte ist verschieden.
Nun setzt voll die Stofferarbeitung ein. Diese Phase ist sehr wichtig. Die Schüler lernen im Team intuitiv die Ergänzung zum vollständigen Quadrat kennen.
Vieta überlegt so: x^2 - 4 x + 3 = 0 kann ich nicht nach x auflösen. Wohl aber ( x - 2 )^2 - 1 (was natürlich dasselbe ist !!!) und er beginnt:
(x - 2)^2 - 1 = 0
(x - 2)^2 = 1
Das kannst auch Du nach x auflösen. Wir ziehen auf beiden Seiten die Quadratwurzel:
x - 2 = +/- Wurzel[1]
Das ist schlicht und einfach genial! Damit erhalten wir zwei Lösungen: x1 = 2 - Wurzel[1] und x2 = 2 + Wurzel[1].
Lösungsmenge = { 2-Sqrt[1], 2+Sqrt[1] }
{1, 3}
Die Lösung der Gleichung x^2 - 4 x + 3 = 0 lautet:
{ 1, 3 }
Voila, wir haben unsere erste quadratische Gleichung geknackt!
Zusammenfassung von Vietas Trick an unserem Beispiel:
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Ergänzung zum vollständigen Quadrat
Noch ein Beispiel: Finde die Lösung der folgenden quadratischen Gleichung x^2 + 6 x - 8 = 0
Zuerst veranschaulichen wir uns die Gleichung:
Plot[ x^2 + 6 x - 8, { x, -8, 3 },
PlotLabel->"Unsere Funktion: y(x) = x^2 + 6 x - 8" ];
Aha, es gibt zwei Nullstellen.
Wir ergänzen zum Quadrat: ( x + 6/2 )^2
Plot[ {x^2 + 6 x - 8, (x + 3)^2},{x,-8,3},
PlotStyle -> { {}, {Dashing[{.06,.02}],Red} },
PlotLabel -> "Unsere Funktion: y(x) = x^2 + 6 x - 8",
Epilog ->{ {Red,Text["(x + 3)^2",{-6,20}]} } ];
Die Kurve (x + 3)^2 muß wieder nach unten verschoben werden, um die Kurve x^2 + 6 x - 8 zu erhalten. Um wieviel gehts nach unten ?? Du kannst dies ungefähr mit dem Cursor abmessen.
Die Kurve (x+3)^2 muß um ca. ... Einheiten nach unten.
(Graphische Ergänzung zum vollständigen Quadrat)
Die einfache Frage ist: wieviel müssen wir von x^2 + 6 x + 9 abziehen, um zu x^2 + 6x - 8 zu gelangen?
Genau. 17
Expand[( x + 3)^2 - 17]
-8 + 6 x + x2
Das ist unsere Gleichung! (x+3)^2 = 17. Nun wie oben Wurzel ziehen:
Lösungsmenge = { -3 - Sqrt[17], -3 + Sqrt[17] } //N
{-7.12311, 1.12311}
Die Lösung von x^2 + 6 x - 8 = 0 lautet:
{ -7.12, 1.123 }.
Probe mit beiden Lösungswerten auf einmal:
-8 + 6 x + x^2 == 0/. { { x -> Lösungsmenge[[1]] },
{ x -> Lösungsmenge[[2]] } }
{True, True}
Ok.
Die Zahl in der Wurzel, hier 17, heißt DISKRIMINANTE.
Übung
Berechne mit der Hand durch Ergänzung aufs vollständige Quadrat, wie oben gezeigt,
(2.4) x^2 - 1000 x + 210000 = 0
(2.5) x^2 + 9 x - 36 = 0
(2.6) x^2 - 14 x + 49= 0
(2.7) x^2 - 7 x - 18 = 0
und mache mit Mathematica die Probe.
Wir überspringen nun das Kapitel 3 "Die Formel von Vieta" und steigen in Kapitel 4 "Magic Diskriminante" ein:
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Vieta hat den suggestiven Blick . . .
Sag mir voraus, also durch "bloßes Hinschauen", ob eine quadratische Gleichung zwei, eine oder gar keine Lösung im reellen Zahlenbereich hat!
Nach längerem "Herumspielen" begann Vieta folgenden Ausdruck
( Diskriminante ) zu schätzen:
p^2/4 - q
Welchen Wert hatte die Diskriminante bei unserem Einführungsbeispiel ??
x^2 - 4 x + 3 == 0
p/2 = -2, q = 3.
Diskriminante = 4 - 3
1
Die Diskriminante kannst Du durch bloßes Hinschauen ausrechnen!
Aber wie ist das mit der "Prophezeiung der reellen Lösungen" ?
x1,2 == -p/2 +/- Sqrt[ p^2/4 - q ]
Wenn p^2/4 - q oder gelehrt: die Diskriminante > 0 ist, das ist meistens der Fall, kannst Du die Wurzel ohne Probleme ziehen.
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Bsp: x^2 + 5 x - 24 = 0.
Scharf hingeschaut: (5/2)^2 + 24 ist sicher > 0. ====> 2 reelle Lösungen!
x^2 + 5 x - 24 = 0 hat zwei reelle Lösungen.
Übung
Schau "scharf" auf die Gleichung, und sag voraus, ob die Gleichung 2 reelle Lösungen hat oder nicht.
(4.1) x^2 - 6 x + 10 = 0 (Antwortsatz)
(4.2) x^2 - 10 x + 25 = 0 (Antwortsatz)
(4.3) x^2 + 3 x - 10 = 0 (Antwortsatz)
Zeig mir die Diskriminante in der Zeichnung.
Plot[ {x^2 - 4 x + 3, (x - 2)^2}, {x,-1,5},
PlotStyle -> { Blue, {Dashing[{.06,.02}],Black} },
PlotLabel-> "Zufall oder nicht ??",
Epilog -> { {Black,Text["(x - 2)^2",{3.8,7}]},
{Blue,Text["Diskriminante = 1 > 0",{2,4}] },
{Cyan,PointSize[.02],Point[{1,0}], Point[{3,0}],
{Red,Text["N1",{.5,-.4}],Text["N2",{3.5,-.4}]}} }];
Richtig. Um 1 ging es nach unten. Der Wert der Diskriminante ist genau 1 !
Manche können nicht glauben, daß die beiden Kurven parallel verlaufen .
Wie ist das mit Dir ? Was meinst Du ?
Du kannst dies so untersuchen: Miß an jeder beliebigen Stelle unserer Kurve y(x) = x^2 - 4 x + 3 den vertikalen Abstand zur Kurve y(x) = (x-2)^2.
beliebigeStellen[.6];
Miß nun alle roten Streckenstücke mit dem Cursor ab.
Alle Streckenstücke sind...
Zufall oder nicht ....?
Ist diese Zahlengleichheit Zufall, oder ist das immer so ?
Jetzt geht es um die Eigeninitiative der Schüler. Hier ist Teamarbeit absolut notwendig. Der Lehrer, als Partner und Helfer, führt von der Vermutung zumBeweis.
Schau dir die vollständige Ergänzung an, hier taucht die 1 auf.
x^2 - 4 x + 3 = ( x - 2 )^2 - 1 = 0 ;
( x - 2 )^2 = 1
x^2 + p x + q = ( x + p/2)^2 - p^2/4 + q = 0;
( x + p/2)^2 = p^2/4 - q
Gleichsetzen: ===> p^2/4 - q = 1
Das ist also immer so. Die Kurven unterscheiden sich durch die Diskriminante!
Wird die x-Achse von der Kurve geschnitten,
so ist die Diskriminante > 0.
Ein Spezialfall . . .
Wo liegen hier die Nullstellen ?
y(x) = x^2 - 6 x + 9
Wir betrachten wieder das Quadrat: ( x - 6/2)^2
Doppellösung =
Plot[ {x^2 - 6 x + 9, (x - 3)^2}, {x,-1,5},
PlotStyle -> { {Blue,Thickness[.005]},
{ Thickness[.007],Dashing[{.03,.02}],Black} },
PlotLabel -> "Unsere Funktion: y(x) = x^2 - 6 x + 9",
Epilog -> { { Black, Text["(x - 3)^2",{1.5,7}] },
{ Blue, Text["Diskriminante = 0",{3,4}] },
{ Cyan, PointSize[.02], Point[{3,0}],
{ Red, Text["N",{3,1} ]}} } ];
Warum gibt es nur mehr eine Nullstelle ?? Was sagt Mathematica ??
Solve[x^2 - 6 x + 9 == 0, x]
{{x -> 3}, {x -> 3}}
Zwei gleiche Lösungen ??
Erinnern wir uns. Wie kann x^2 - 6 x + 9 zerlegt werden ?
Factor[ x^2 - 6 x + 9 ]
(-3 + x)2
genau: x^2 - 6 x + 9 = (x - 3)^2
Wir sehen: Die quadratische Gleichung IST BEREITS EIN VOLLSTÄNDIGES QUADRAT . Dies ergibt immer eine sogenannte DOPPELLÖSUNG.
Graphisch wird die x-Achse von der Kurve nicht mehr geschnitten, sondern nur mehr BERÜHRT. Wie groß ist nun die Diskriminante ??
Diskriminante = (-6)^2/4-9
0
Wird die x-Achse von der Kurve berührt,ist die Diskriminante 0.
Und wie ist das mit der "Prophezeiung der reellen Lösungen" ?
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Bsp: x^2 - 8 x + 16 = 0.
Scharf hingeschaut: (8/2)^2 - 16 = 0. ====> Doppellösung!
x^2 - 8 x + 16 = 0 hat eine Doppellösung.
Übung
Schau "scharf" auf die Gleichung, und sag voraus, ob die Gleichung eine Doppellösung hat :
(4.4) x^2 - 6 x + 37 = 0 (Antwortsatz)
(4.5) x^2 + 6 x + 9 = 0 (Antwortsatz)
(4.6) x^2 - 4 x + 29 = 0 (Antwortsatz)
(4.7) Baue selbständig 3 quadr. Gleichungen mit einer Doppel- lösung.Überprüfe graphisch wie oben mit dem Plot Doppellösung.
(4.8) Formuliere ein Merksätzchen, in dem vorkommen: Vollstän- diges Quadrat, genau eine Nullstelle, Diskriminante = 0.
Schlicht und einfach fürs erste unlösbar
Noch ein anderes Beispiel:
y(x) = x^2 - 6 x + 10
Wo liegen hier die Nullstellen ?
Plot[ x^2 - 6 x + 10, {x, -2, 6},
Epilog -> { {Red,Text[" weit und breit keine \n
Nullstellen in Sicht",{3,11}]} }];
Was sagt Mathematica ??
Solve[x^2 - 6 x + 10 == 0, x]
{{x -> 3 - I}, {x -> 3 + I}}
Dies ist vorerst etwas unverständlich. Was ist I ?? Wir fragen Mathematica.
?I
I represents the imaginary unit Sqrt[-1].
I = Sqrt[-1]
I ist die sogenannte imaginäre Einheit.
Wir verlassen unsere bekannte Zahlenwelt . . .
Wir überschreiten nun den Zahlenbereich der reellen Zahlen. Wir erweitern unsere Welt in den komplexen Zahlenbereich hinein. Und wie ist das hier mit der "Prophezeiung der reellen Lösungen" ?
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Es gibt also zwei Lösungen, nur "leben" sie nicht in "Waterworld", sondern im komplexen Zahlenbereich.
Bsp: x^2 - 6 x + 10 = 0.
Scharf hingeschaut: (6/2)^2 - 16 < 0 ====> Komplexe Lösung!
Wird die x-Achse von der Kurve nicht geschnitten,
ist die Diskriminante < 0.
Der Film: "Jetzt kennen wir uns aus"
In Movie[Zahl] gibst Du die Anzahl der Bilder in der Animation an.
Movie[12];
Der Film kann nur andeutungsweise gezeigt werden. Spätestens hier versagt das "herkömmliche Mathematikbuch".
Dies war ein Auszug aus einem Notebook der Serie Maths & Fun. Alle Notebooks sind sehr umfassend abgefaßt, sodaß es dem jeweiligen Anwender obliegt, für ihn Interessantes auszuwählen und zu verwenden.
Mittlerweile gibt es ca. 25 getestete Notebooks mit ganz neuen Aufgabentypen, die sorgfältig aufbereitet wurden. Die Notebooks sind bei uns in Graz schon seit 3 Jahren im Einsatz.
Eine kurze Bemerkung zur Reaktion der Schüler:
Die Schüler fühlen sich von der großartigen Möglichkeit des Notebooks stark angezogen. Das interaktive Erarbeiten des Lehrstoffes ist eine tolle Erfahrung. Die Arbeit in Zweierteams am PC hat sich sehr bewährt. Als äußerst wichtig erwiesen sich die Übungen. Die Schüler legen eigene Notebooks an und geben diese ausgedruckt dem Lehrer. Die Schüler WOLLEN das, um ihre Kompetenz auch zeigen zu können.
Wir arbeiten ca. die Hälfte der Wochenstunden pro Klasse am PC. Die andere Hälfte der Unterrichtszeit läuft über Tafel- unterricht ab, wobei hier PC - Eingaben bereits vorgestellt werden.
In der nächsten Folge stellen wir weitere Notebooks vor. Wir berichten auch über die positiven Auswirkungen der Team- arbeit im computerunterstützten Mathe-Unterricht.
Mehr Information gibt es im Internet.
Hier unsere Internetadresse.
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