| Näherungspolynome - 1. Teil |
Mathematische Inhalte:
Lineare Gleichungssysteme, Matrizenrechnung
Anwendung:
Berechnung von Werten zwischen gemessenen Argumenten (Interpolation), wobei eine Reihe von Meßpunkten mit voneinander verschiedenen Stützstellen zugrundegelegt wird.
Kurzzusammenfassung:
Die Interpolationspolynome werden mit Hilfe von Mathcad und Derive bestimmt und grafisch ausgegeben, wobei man die verschiedenen Darstellungsformen vergleichen kann.
Lehrplanbezug:
2. Jahrgang: Erstellung Polynomfunktionen durch Angabe von mehreren Stützpunkten, Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mehreren Variablen.
3. Jahrgang, 4. Jahrgang; alle Abteilungen
Zeitaufwand:
Ohne Programmeinschulung für die Schüler 3 bis 4 Stunden.
Mediales Umfeld:
Hardware: Personal Computer
Software: DERIVE 3.0, Mathcad 5.0
Name auf Diskette: INTPOL.MCD (Mathcad-File), INTPOL.MTH (Derive-File)
1. Inhalte des Beitrages
Ausgehend von 5 Stützpunkten ist ein Näherungspolynom so zu bestimmen, daß diese 5 Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Diese Näherungsfunktion soll durch ein Polynom vierten Grades dargestellt werden.Die Koeffizienten des Interpolationspolynoms werden mit Hilfe von DERIVE und Mathcad berechnet, wobei die Bestimmung über lineare Gleichungssysteme und über die Matrizenrechnung läuft.
2. Einführung
Es gibt viele Möglichkeiten eine Funktion so zu definieren, daß sie gegebene Wertepaare als Elemente besitzen. Da jedoch Polynome einen einfachen Aufbau haben und außerdem schnell berechenbar sind, eignen sie sich besonders gut für die obige Aufgabenstellung. Diese lautet folgendermaßen:
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion P höchstens n-ten Grades
welche mit einer Funktion f in den n + 1 gegebenen Wertepaaren
(x0 ; y0), (x1 ; y1),.............., (xn ; yn) übereinstimmt:
Von zentraler Bedeutung für die Bestimmung der Näherungspolynome ist nun folgender Satz:
Sind alle xi paarweise verschieden, so gibt es immer genau ein Interpolationspolynom P(x)
Dieses eindeutig bestimmte Polynom kann in verschiedener Form dargestellt werden. So z.B. als Lagrangesches oder als Newtonsches Interpolationspolynom, wobei das Newtonsche Interpolationspolynom für praktische Berechnungen wesentlich günstiger ist.
Eine andere Möglichkeit liefert der Ansatz über lineare Gleichungssysteme. Die Bestimmung der Koeffizienten ai führt auf solche und deren äquivalente Matrizengleichungen. Das "händische" Berechnen bringt aber einige Schwierigkeiten mit sich (besonders wenn 4 oder mehr Stützpunkte vorhanden sind). Diese Schwierigkeiten vermindert nun der Einsatz von Computeralgebrasystemen wesentlich.
3. Ausführung
3.1. Aufgabenstellung
Fünf Stützpunkte P0(- 3; - 5), P1(- 1; 1), P2(3; - 1), P3(- 2; 3) und P4(1.5; - 1) sind gegeben. Das Interpolationspolynom vom Grade 4 ist zu bestimmen und graphisch darzustellen.
Die Vorgabe der fünf Stützpunkte führt auf ein lineares Gleichungssystem mit den fünf Unbekannten
a0 , a1 , a2 , a3 und a4 , welches man etwa so anschreiben kann:
Die Lösung dieses Gleichungssystems sind die Koeffizienten des Interpolationspolynoms
3.2. Berechnung mit Mathcad
Die Dokumentation der Berechnung wurde vollstängig mit Mathcad durchgeführt (Ausnahmen sind die Zeilen, welche in Times New Roman geschrieben sind).
Zur graphischen Darstellung des Näherungspolynoms sind folgende Vorarbeiten sinnvoll.
Hinweis:
Eine zweite Möglichkeit der Lösung des linearen Gleichungssystems führt über Matrizengleichungen. Gleichungssysteme sind mit Hilfe von Mathcad besonders übersichtlich darzustellen.
Die Ausführung wird auf der nächsten Seite gezeigt.
Die weiteren Koeffizienten erhält man, indem z. B. a1 oder a2 usw. eingegeben werden.
3.3. Berechnung mit Derive:
Zuerst müssen die Koeffizienten x0 , y0 , x1 ,....... definiert werden. Man erhält 10 Ausdrücke #1 bis #10. Anschließend wird das Gleichungssystem folgendermaßen eingegeben:
[[a0+a1*x0+a2*x0^2+a3*x0^3+a4*x0^4=y0],[a0+a1*x^+....],[ .......+a3*x4^3+a4*x4^4=y4]].
Literaturhinweise:
Handbuch zu DERIVE
Handbuch zu Mathcad
Gert Böhme: Algebra, Analysis 1, Analysis 2; Springer Verlag, 1991