Rollkurven

Rollkurven

Mathematische Inhalte:

Funktionen in Parameterdarstellung

Aufgabenstellung:

Es sollen die Funktionsgleichungen der Rollkurven in Parameterdarstellung abgeleitet werden . Anschließend sollen die Grafen gezeichnet werden.

Kurzzusammenfassung:

Zunächst werden die Gleichungen der Rollkurven in Paramterform abgeleitet. Die Darstellung der Rollkurven erfolgt dann mit unterschiedlichen Systemen. ( Mathcad 5.0 Plus - Derive 3.0 - Taschenrechner HP 48 G )

Anmerkungen:

Ich habe in 2 Klassen parallel einmal mit Taschenrechner und Derive und in der anderen Klasse mit Taschenrechner und Mathcad gearbeitet .Als Erweiterung habe ich mit dem Taschenrechner numerisch und mit Derive und Mathcad symbolisch die Bogenlängen berechnet .Diese Aufgabenstellungen können vollständig auch mit dem Taschenrechner Texas TI 85 ausgeführt werden .

Lehrplanbezug:

3.Jahrgang Maschinenbau

Mediales Umfeld:

Die Berechnungen wurden vollständig mit der Derive Version 3.0 , Mathcad 5.0 Plus

Taschenrechner HP 48 G durchgeführt.

Dateinamen zum Herunterladen:ka_roll.mth und ka_roll.mcd

1.Kreis mit dem Radius r rollt längs einer Geraden ab : ( Zykloiden )

Der Punkt P ( x / y ) bewegt sich im Abstand a

vom Mittelpunkt M .

Wie man aus der Skizze leicht erkennen

kann , gilt für die Zykloide in Parameterform :

x (t) = r*t - a*sint

y (t) = r - a*cost

Mathcad 5.0 Plus:

Der Radius wird mit 6 und a mit 2 definiert . Es werden zwei volle Umdrehungen ausgeführt .

a < r

Derive 3.0 :

#3: [ r*t-a*sint , r - a*cost ]
#4: r:=6
#5: a:=2
#6: [6*t-2*sint , 6 - 2*cost ] simplify #3

Der Bildschirm wird zur grafischen Darstellung horizontal unterteilt .
Befehlsfolge PLOT: Under - PLOT UNDER : At line : 13
Die Skalierung wird mit scale x = 10 und y =10 festgelegt . Weiters wird der Koordinatenursprung verschoben . Dazu setzt man den Cursor mit Move auf x = 30 und y = 0 . Mit anschließendem
center erhält man die gewünschte Einstellung .

Taschenrechner HP 48 G :

Hiezu geht man in das PLOT - Menü .
Mit den Cursortasten gelangt man zu den einzelnen Feldern .

TYPE : Durch Drücken von CHOOS stellt man
die gewünschte Funktionsart ein .
EQ : Eingabe der Funktionsgleichung
INDEP : Angabe der Variablen
H-VIEW : Horizontalbereich der Grafik
V-VIEW : Vertikalbereich der Grafik
Wird AUTOSCALE aktiviert , so braucht man
keinen Vertikalbereich angeben .

Den Wertebereich des Parameters kann man im PLOT OPTIONS Menü verändern .

	LO : untere Grenze HI : obere Grenze
	Durch Aktivieren von TRACE und ( X,Y) kann die Funtion abgetastet werden und zum entsprechenden Parameterwert wird die x- und y-Koordinate angegeben .

Der Vorteil des Taschenrechners ist zweifelsohne , daß jeder Schüler einen besitzt und daß er jede Stunde zur Verfügung steht .

Mathcad 5.0 Plus :

Derive 3.0 :

#7 : a:=6
#8 : [ 6*t-6*SIN(t) , 6- 6 *COS(t) ] simplify #3

Taschenrechner HP 48 G :

Die Grundeinstellungen am Taschenrechner haben sich nicht verändert .
Es wird lediglich die Funktionsgleichung geändert . Dazu aktiviert man im Plot-Menü EQ und drückt EDIT - ON ( CANCEL ) - und anschließend die Taste ‘ und beginnt mit der Eingabe .

Mathcad 5.0 Plus :

Derive 3.0 :

# 9 : a:=8
#10 : [6*t-8*SIN(t) , 6 - 8*COS(t) ] simplify #3

Taschenrechner HP 48 G :

Bei den weiteren Ausführungen wird jeweils eine Darstellung mit Mathcad , Derive
und dem Taschenrechen HP 48 G gezeichnet .

2.Kreis mit dem Radius r rollt außen auf einem Kreis mit dem Radius R ab :
( Epizykloiden )

Mathcad 5.0 Plus :

a < r :

a = r :

Derive 3.0 :

#11 : Epizykloiden
#12 : CaseMode:=Sensitive Unterscheidung zwischen Groß - und Kleinbuchstaben

#14 : R:=6
#15 : r:=2
#13 : [(R+r)*COS(rt/R)-a*COS((r+R)t/R) , (R+r)*SIN(rt/R)-a*SIN((r+R)t/R) ]
....
#18 : a:=2
#19 : [ 8*COS(t/3)-2*COS(4t/3) , 8*SIN(t/3) - 2*SIN(4t/3) ] simplify #13

Bei dieser Darstellung ist es besser
den Bildschirm senkrecht zu teilen.
PLOT : Beside
PLOT BESIDE :At line :40

scale . x = 5 , y = 5

Taschenrechner HP 48 G:

a > r :

Im Grafikfenster kann man unterschiedliche Optionen einstellen . Durch Drücken der Taste NXT erscheinen weitere Untermenüs .

z.Bsp.: EDIT - LABEL -->Achsenbeschriftung
MENUE --> Menüleiste verschwindet

3.Kreis mit dem Radius r rollt innen auf einem Kreis mit dem Radius R ab :
( Hypozykloiden )

Mathcad 5.0 Plus :

a < r :

Derive 3.0 :

a = r :

#23 : [(R-r)*COS(rt/R)+a*COS((R-r)t/R,(R-r)*SIN(rt/R)+a*SIN((R-r)t/R) ]
#24: R:=6
#25: r:=2
....
#28: a:=2
#29: [2*COS(2t/3)+4*COS(t/3) , 2*SIN(2t/3)+4*SIN(t/3)] simplify#23

Der Bildschirm wird wieder vertikal unterteilt .
PLOT :Beside
PLOT BESIDE : At line : 40
scale x= 5 und y = 5

Taschenrechner HP 48 G :

a > r :

Die vollständigen Programme können hier heruntergeladen werden:
ka_roll.mth für Derive bzw. ka_roll.mcd für Mathcad .