Jörg Kliemann, Höhere Landwirtschaftliche Bundeslehranstalt St.Florian

Mathematische Inhalte:

Deterministisches Chaos ist die Sensitivität von exakt beschreibbaren Systemen gegenüber Änderungen der Anfangsbedingungen und Änderungen der diese Systeme steuernden Parameter.

Immer wieder zitiertes Beispiel ist das System des logistischen Wachstums (=exponentielles Wachstum bei gleichzeitiger Kapazitätsgrenze). Normiert man ein solches System, so erhält man als beschreibende Funktion f(x)=4lx(1-x) (xÎ[0,1], lÎ[0,1]) mit einer Rückkopplung xn+1=f(xn).

Eine Möglichkeit, chaotische Systeme zu beschreiben, sind Attraktoren. Das sind jene Zustände, die ein System nach längerer Zeit einnimmt. Der Attraktor eines gedämpften Pendels (kein chaotisches System) ist jener Zustand, in dem das Pendel zur Ruhe gekommen ist. Der Attraktor eines chaotischen Systems wie z.B. dem Wetter manifestiert sich im Temperaturverlauf eines Tages, eines Jahres, mehrerer Jahrtausende, der sich aber nicht wiederholt (seltsamer Attraktor).

Der Attraktor des Systems (f(x)=4lx(1-x), xn+1=f(xn)) ist abhängig vom das System bestimmenden Parmeter l. Für lÎ[0,0.25] ist der Attraktor gleich 0. Für l>0.25 steigt der Attraktor an. Für l aus einem bestimmten Intervall besteht der Attraktor aus zwei Punkten, dann aus vier Punkten, aus acht Punkten usw. (Periodenverdoppelung = Merkmal chaotischer Systeme).

Der Abstand zwischen zwei Parameterwerten bei denen eine Periodenverdoppelung eintritt, nimmt annähernd gemäß einer geometrischen Folge ab, sodaß die Periodenverdoppelung ab einem gewissen Grenzwert für l beendet ist. Es beginnt dort der Bereich der seltsamen Attraktoren, der aber immer wieder von geordneten Bereichen unterbrochen ist.

Stellt man die Abhängigkeit der Attraktoren von l graphisch dar, so ergibt sich das nach Mitchell Feigenbaum (Entdecker der Universalität der Periodenverdopplung) benannten Feigenbaum-Diagramm.

Die Iteration für verschiedene Werte für l kann man graphisch auch mit folgenden Diagrammen veranschaulichen. (Siehe dazu auch die einschlägige Literatur.)

Obere Reihe: l=0.2, Attraktor=0. l=0.4, einpunktiger Attraktor. l=0.7, einpunktiger Attraktor

Untere Reihe: l=0.8, zweipunktiger Attraktor. l=0.85, vierpunktiger Attraktor. l=0.95, Chaos.

Seltsame Attraktoren sind fraktale Gebilde, was man am Feigenbaum-Diagramm anhand der Selbstähnlichkeit (einer wichtigen Eigenschaft von Fraktalen) deutlich sieht.

Die Sensitivität gegenüber Änderungen des Parameters l ist im chaotischen Bereich des Feigenbaum-Diagramm deutlich zu sehen. Kleine Änderungen von l ergeben völlig andere Punktefolgen, oder neben chaotischen Punktefolgen auch wieder Attraktoren mit endlich vielen Punkten.

Die Sensitivität gegenüber Änderungen des Startwertes x0 der Iteration xn+1=f(xn) zeigt die Chaos-Maschine.

2. Die Chaos-Maschine

2.1. Installation

Kopieren Sie die Dateien CMWIN.EXE und INVCMWIN.EXE in das Verzeichnis C:\CHAOS.

Starten Sie Windows und klicken Sie den Menüpunkt Datei Neu des Programm-Manager an und wählen Sie Programmgruppe aus und klicken Sie OK.

Geben Sie folgenden Text ein und bestätigen Sie abschließend mit OK.

Klicken Sie erneut den Menüpunkt Datei Neu des Programm-Manager an und wählen Sie Programm aus und klicken Sie OK.

Geben Sie folgenden Text ein und bestätigen Sie abschließend mit OK.

Klicken Sie erneut den Menüpunkt Datei Neu des Programm-Manager an und wählen Sie Programm aus und klicken Sie OK.

Geben Sie dann folgenden Text ein und bestätigen Sie abschließend mit OK.

Das Gruppenfenster Chaos-Maschine hat dann folgendes Aussehen:

2.2. Funktionsweise

Die Chaos-Maschine iteriert die Funktion f(x)=4lx(1-x) für l=1 mit einem einheitlichen Startwert x0=0.5. Die Ausgabe der Chaos-Maschine ist eine +/- -Zeichenfolge, je nachdem ob xn ³ 0.5 ('+') oder xn < 0.5 ('-') ist.

2.3. Experimentieren

Als der Meterologe Edward Lorenz 1961 bei seinen Wettermodellrechnungen einen Kontrollauf mit gerundeten Werten fortsetzte, bemerkte er, daß der Verlauf der simulierten Wetterdaten im Fall der gerundeten Anfangswerte zwar vorerst noch mit dem Verlauf bei exakten Anfangswerten übereinstimmte, daß aber später der Verlauf völlig andersartig verlief. Damit war der sog. Schmetterlingseffekt (benannt nach dem Titel eines Vortrages mit dem Lorenz seine Entdeckung vorstellte: "Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wing in Brazil Set Off a Tornado in Texas?") entdeckt und die Unberechenbarkeit des Wetters besiegelt.

Experimentieren Sie nun im Sinne Lorenz' mit der Chaos-Maschine.

3. Die Inverse Chaos-Maschine

3.1. Zusammenspiel zwischen der Chaos-Maschine und der Inversen Chaos-Maschine.

Die Chaos-Maschine zeigt ihre volle Wirkung erst dann, wenn sie gemeinsam mit der Inversen Chaos-Maschine verwendet wird. Hier wird auf die Eingabe einer +/- -Zeichenfolge ein Bereich ausgegeben, in dem der Startwert der Chaos-Maschine liegen muß, damit diese die gewünschte +/- -Zeichenfolge produziert.

3.2. Funktionsweise

Die Erläuterung der Inversen Chaos-Maschine erfolgt hier am besten mit Pseudocode:

Eingabe: +/- -Zeichenkette.

Fallunterscheidung: Letztes Zeichen der +/- -Zeichenkette '-': unten:=0, oben:=0.5

'+': unten:=0.5, oben:=1

Schleife vom vorletzten Zeichen zurück bis zum ersten Zeichen der +/- -Zeichenkette:

Fallunterscheidung: Zeichen: '-': oben:=(1-sqrt(1-oben))/2, unten:=(1-sqrt(1-unten))/2

'+': oben:=(1+sqrt(1-oben))/2, unten:=(1-sqrt(1-unten))/2

Ausgabe: 'Startwert zwischen' oben 'und' unten '.'

Die Formel oben:=(1-sqrt(1-oben))/2 bzw. oben:=(1+sqrt(1-oben))/2 ergibt sich dabei aus der Lösung der Gleichung xn+1=4xn(1-xn) für xn:

3.3. Experimentieren

Öffnen Sie mehrere Exemplare der Chaos-Maschine durch wiederholtes Anklicken des Symbols für die Chaos-Maschine, verkleinern und gruppieren Sie die Fenster und machen Sie aus dem Programm-Manager-Fenster ein Symbol.

Die Inverse Chaos-Maschine braucht nur einmal geöffnet zu werden.

Um das Diagramm "Jahresmittel der Lufttemperaturen in Wien" (im Anhang) mit der Chaos-Maschine nachzubilden, berechnet man mit der Inversen Chaos-Maschine den Startwert für die Chaos-Maschine. '+' bedeutet dabei eine Abweichung vom langjährigen Mittel nach oben, '-' eine Abweichung nach unten.

Für die Jahre 1961 bis 1970 gibt sich für die Inverse Chaos-Maschine folgendes Bild:

Je nach Startwert stimmt der simulierte Verlauf der Chaos-Maschine mit der Wirklichkeit überein,

differiert aber hier ab 1974 von den tatsächlichen Werten.

Im nächsten Bild ist der Startwert der Chaos-Maschine ist so gewählt, daß die Abweichungen bis 1990 übereinstimmen. Aber: Wie geht's wohl weiter?

4. Interpretation

Dieses Beispiel soll zeigen, wie schwierig es ist, aus einer Entwicklung einen Trend für die Zukunft vorauszusagen. Liegt bei steigenden Temperaturen schon ein Trend vor oder handelt es sich nur um die chaotischen Schwankungen eines dynamischen Systems. Sollte ein mathematisches Modell für die Beschreibung eines dynamischen Systems herangezogen werden um zukünftige Entwicklungen bei Klima, Wetter, Börse, ... vorhersagen zu können, ist weiters zu bedenken, daß die steuernden Parameter und Anfangswerte nicht in der erforderlichen Genauigkeit gemessen werden können, da die (physikalischen) Meßgeräte dazu gar nicht in der Lage sind.

5. Abschließende Bemerkungen

Die Chaos-Maschine entstand u.a. als eines der ersten Programme mit denen ich mich in der Programmierung von Windowsprogrammen unter Pascal versucht habe. Die Programmidee und ein entsprechendes DOS-Programm existierten schon früher. Die Anregung zu dieser Betrachtungsweise von Chaos habe ich auf der Schweizer Technologieausstellung HEUREKA in Zürich von einem dort installierten Computerprogramm, dessen Autor ich leider nicht kenne, erhalten.

Die Windows-Version der Chaos-Maschine hat gegenüber der DOS-Version den Vorteil, daß man beliebig viele Chaos-Maschinen gleichzeitig öffnen und gleichzeitig auch mit der Inversen Chaos-Maschine benutzen kann.

Weiters könnte man vor allem die Inverse Chaos-Maschine sehr genau vom Standpunkt der Numerischen Mathematik aus betrachten (Fehlerrechnung. Wieviel Stellen braucht man für den Startwert für wieviel Stellen der Zeichenkette, bzw. umgekehrt?). Nachdem ich kein passionierter Numeriker bin, bitte ich um entsprechende Hinweise.

Zu guter Letzt möchte ich noch auf die unzähligen Bücher zu den Themen Deterministisches Chaos, Systemdynamik, fraktale Geometrie, etc., sowie auf die Videos aus dem Verlag Spektrum der Wissenschaft und auf den BBC-Fernsehfilm "Chaos - Mutter der Ordnung" hinweisen.