Die 4 merkwürdigen Punkte im Dreieck

Die 4 merkwürdigen Punkte im Dreieck

Mathematische Inhalte: Parameterform der Geradengleichung , Einheitsvektoren , Normalvektoren , Normalprojektion , Kreisgleichung , lineare Gleichungssysteme Lehrplanbezug : 2.Jahrgang Maschinenbau Aufgabenstellung: Es sollen der Schwerpunkt , Höhenschnittpunkt , Umkreismittelpunkt und der Inskreismittelpunkt berechnet werden . Eine weitere Ergänzung wäre das Aufstellen der Gleichung für die Euler’sche Gerade . Kurzzusammenfassung: In diesem Beispiel werden die wesentlichsten Grundlagen der Vektorrechnung in der Ebene verwendet .Parallel zur Berechnung sollen die ermittelten Geraden und Kreise in einem Grafikfenster dargestellt werden .Der Schüler soll sofort sehen , was berechnet wurde . Zeitaufwand : Für eine Demonstration ca. eine Doppelstunde . Mediales Umfeld : verwendete Medien :Die Berechnungen wurden ausschließlich mit DERIVE Version 2.58 durchgeführt . Dateien zum Herunterladen ka_vek.doc und ka_vek.mth . Ausführung:

Vom Dreieck ABC [ A( -5 / 4 ) , B( 7 / 0 ) , C ( 10 / 9 ) ] soll zunächst der Inkreismittelpunkt und der Radius des Inkreises ermittelt werden .
Als erster Schritt wird der Bildschirm in ein Algebrafenster und in ein Grafikfenster unterteilt .
( window - split - vertical (40) ; window - designate - 2D-plot )
Man definiert zunächst die Ortsvektoren .

2 : a:=[-5,4]

3 : b:=[7,0]

4 : c:=[10,9]

Damit das Dreieck gezeichnet werden kann, definiert man eine Matrix mit den Vektoren .

6 : [ a , b , c , a ]

Damit das Dreieck sinnvoll dargestellt werden kann , müssen einige Befehle ausgeführt werden .
Die Skalierung wird mit scale x = 5 und y = 5 geändert .Als nächster Schritt wird der Koordinatenursprung mit move x = 5 und y = 5 und anschließendem center verschoben . Mit der Befehlsfolge
plot - options - state - connected bzw.small kann das Dreieck gezeichnet werden .

Die Zeile #6 wird markiert und im Grafikfenster dargestellt .

Die Arbeitsfläche sollte nun so aussehen :

Für das Berechnen der Einheitsvektoren definiert man zum Beispiel:

8 :

Im nächsten Schritt werden die Gleichungen der Winkelsymmetralen ermittelt . Dazu stellt man die Vektoren AC und AB auf . Den Richtungsvektor der Winkelsymmetralen erhält man durch Addition der entsprechenden Einheitsvektoren .
Für die Winkelsymmetrale w_a erhält man folgende Gleichung :

23 :

und mit simplify erhält man die Gleichung der Winkelsymmetralen in Parameterform , die von DERIVE gezeichnet werden kann .

24 :

Die einzelnen Zwischenschritte sind im Anhang ersichtlich .Die Gerade wird nun ins Dreieck eingezeichnet .
Man gibt nun das Intervall für den Parameter an .( -3.14 bis 8 )

Das gleiche wiederholt man für die Winkelsymmetrale w_b
Durch den Schnitt der beiden Winkelsymmetralen erhält man die Koordinaten des Inkreismittelpunktes . ( I ( 5 / 4) )
Den Inkreismittelpunkt kann man durch options - state - large hervorheben .

Den Radius des Kreises erhält man mit Hilfe der Normalprojektion des Vektors auf den Normalvektor der Seite c .
Dadurch erhält man folgende abschließende Darstellung :

Mit ähnlichen Überlegungen kann man den Umkreismittelpunkt , Höhenschnittpunkt und den Schwerpunkt berechnen .Die einzelnen Schritte sind auf der Datei ka_vek.mth nachlesbar.

Programmprotokol :

1:"Ortsvektoren:"

2:a:=[-5,4]

3:b:=[7,0]

4:c:=[10,9]

5:"Dreieck:"

6:[a,b,c,a]

7:"Einheitsvektor:"

8:E(x,y):=1/SQRT(x^2+y^2)*[x,y]

9:"Normalvektor:"

10:N(x,y):=[-y,x]

11:"Winkelsymmetrale w_alpha:"

12:ab:=b-a

13:[12,-4] Simplify #12

14:E(12,-4)

15:[3*SQRT(10)/10,-SQRT(10)/10] Simplify #14

16:ac:=c-a

17:[15,5] Simplify #16

18:E(15,5)

19:[3*SQRT(10)/10,SQRT(10)/10] Simplify #18

20:"Richtungsvektor w_alpha:"

21:[3*SQRT(10)/10,-SQRT(10)/10]+[3*SQRT(10)/10,SQRT(10)/10] #15 + #19

22:[3*SQRT(10)/5,0] Simplify #21

23:a+alpha*[3*SQRT(10)/5,0] a+a *#22

24:[3*SQRT(10)*alpha/5-5,4] Simplify #23

25:"Winkelsymmetrale w_beta:"

26:ba:=a-b

27:[-12,4] Simplify #26

28:E(-12,4)

29:[-3*SQRT(10)/10,SQRT(10)/10] Simplify #28

30:bc:=c-b

31:[3,9] Simplify #30

32:E(3,9)

33:[SQRT(10)/10,3*SQRT(10)/10] Simplify #32

34:"Richtungsvektor w_beta:"

35:[-3*SQRT(10)/10,SQRT(10)/10]+[SQRT(10)/10,3*SQRT(10)/10] #29+#33

36:[-SQRT(10)/5,2*SQRT(10)/5] Simplify #35

37:b+beta*[-SQRT(10)/5,2*SQRT(10)/5] b+b *#36

38:[7-SQRT(10)*beta/5,2*SQRT(10)*beta/5] Simplify #37

39:"Inkreismittelpunkt:"

40:[3*SQRT(10)*alpha/5-5,4]=[7-SQRT(10)*beta/5,2*SQRT(10)*beta/5] #24=#38

41:[3*SQRT(10)*alpha/5-5=7-SQRT(10)*beta/5,4=2*SQRT(10)*beta/5] Simplify #40

42:[alpha=5*SQRT(10)/3,beta=SQRT(10)] Solve #41

43:alpha:=5*SQRT(10)/3

44:[5,4] Simplify #24

45:" I(5/4) "

46:"Inkreisradius :"

47:ai:=i-a

48:[10,0] Simplify #47

49:ab:=b-a

50:[12,-4] Simplify #49

51:N(12,-4)

52:[4,12] Simplify #51

53:E(4,12)

54:[SQRT(10)/10,3*SQRT(10)/10] Simplify #53

55:"Normalprojektion:"

56:ABS([10,0] . [SQRT(10)/10,3*SQRT(10)/10])

57:SQRT(10) Simplify #56

58:"Kreisgleichung:"

59:[5+SQRT(10)*COS(t),4+SQRT(10)*SIN(t)]