Erich Zott, HTL Mödling

Programmierbare SHARP-Rechner im Unterricht
("Scharfe Programme" - Teil 3)

Mathematische Inhalte:

SIMPSONsche Integration, FOURIER Reihe Anwendung: Vermeidung zeitaufwendiger Mathematikroutinen durch den Einsatz von BASIC-Programmen eines SHARP-Taschenrechners Kurzzusammenfassung: Eine wahrhaft unmögliche Funktion wird unter Verwendung der SIMPSON-Formel in eine FOURIER-Reihe entwickelt Lehrplanbezug: 3.Jahrgang: Numerisches Integrieren mit der KEPLER - SIMPSON Formel,

4.Jahrgang: FOURIER Reihen

 Zeitaufwand: 2 Stunden (Programme abschreiben lassen) bis

4 Stunden (Programme intensiv erarbeiten)

 Didaktische Ziele: Zusammenfassung und Höhepunkt der Unterrichtseinheit FOURIER Reihe; Gruppenarbeit, bei der es auf jeden Einzelnen ankommt Mediales Umfeld: SHARP 1403 (oder beliebige BASIC-programmierbare Taschenrechner mit LABELs)  Anmerkungen: Es gelten die Bemerkungen aus dem Teil 1 (bitte nachlesen!).

 

 1) Die AUFBEREITUNG des Programms:

Grundlage ist die Formel von SIMPSON zur numerischen Integration:

 

Die Folge <k> der Koeffizienten ist 4 - 2 - 4 - 2 - ...

Da bietet sich doch ein Brainstorm-Klassenwettbewerb an, um dafür eine passende (Iterations)Formel zu finden! Einige Lösungen wären:

Þ  k = 2*SIN^2(i*pi/2)+2

Þ  k = 3-(-1)^i

Þ  k=2, k=k-(-1)^i*2

Þ  k=2, k=6-k

Wir nehmen die letzte Iterationsformel. Anfangs- und Endwert der Simpson Formel werden gesondert berechnet, die Streifenzahl STN reguliert die x-Distanz DST. Die Funktion selber wird wieder in #1 eingegeben. Das Programm wird später als Unterprogramm benutzt (daher Return). Als label wählen wir "J" - es erinnert an ein halbes Integralzeichen. 2) Das BASIC-Programmm:

      1   Y= ...f(x)...

      2   RETURN

3400   "J" PRINT " b e S t I M P s S i n t ":CLEAR

3405   INPUT " a = ";A," b = ";B," STreifeN = ";STN

3410   DST=(B-A)/2/ STN:K=2

3415   X=A:GOSUB 1:F=Y

3420   FOR I=1 TO 2* STN -1

3425   K=6-K:X=X+DST

3430   GOSUB 1:F=F+K*Y

3435   NEXT I

3440   X=B:GOSUB 1:F=(F+Y)* DST /3

3445   " Integral = "; USING "##.###^";MDF F

3450   USING :RETURN

 

3) Das "Drei MMM-ädchen" BEISPIEL:
Aus einer Eingebung heraus bat ich die 3 Mädchen im 4.Jahrgang um Funktionen, die wir für eine abschliessende FOURIER-Entwicklung verwenden wollten. Sie nannten cos x, x3 und ln x. Also...

 Geg.: f1(x) = -cos x für -p < x < -p /3

f(x) = f2(x) = x 3 für -p /3 < x < p /3

f3(x) = 1-ln x für p /3 < x < p

Ges.: FOURIER-Reihe 

In den vorhergehenden Stunden wurden die Formeln brav abgeleitet und an etlichen Beispielen geübt, sodaß sich ein Gefühl für die Schwierigkeiten entwickeln konnte. Daher ließ der kundige Blick auf die Angabe das Schülerherz erbeben. Kurz und gut: ein Wahnsinnsbeispiel!

Zur lockeren Einstimmung zeichnen wir zunächst unsere Angabefunktion:

4) Bewältigung:

Zur Bestimmung der FOURIER-Koeffizienten sind viele Integrale zu berechnen:
 

Mit dem Koeffizientenindex n = 0,1,..,4 sind es so 27, zum Teil recht schwierige Integrale. Sie alle händisch zu rechnen, läßt auch bei Mathematikstrebern leichten Widerwillen aufkeimen!

Nicht so bei Verwendung unseres BASIC Rechners. Hier bietet sich für den Lehrer sogar eine großartige Gelegenheit zu einer Gruppenarbeit:

Jedem Schüler wird ein Integral zugewiesen. Der Integrand wird in die #1 eingegeben, z.B.:

 #1 N = 0 : Y = RCP p * (- COS X) * COS(N*X)

und mit Aufruf "J", den Grenzen a = - p , b = - p /3 und der Streifenzahl STN = 8 hat er schon den numerischen Wert! ( 0.2757)

Der Lehrer sammelt auf der Tafel alle Werte (je drei werden addiert) in einer Tabelle :

Mit den obigen Koeffizienten erhalten wir das überwältigende Resultat:

 F(x) = 0.239 - 0.252 cos x - 0.03 cos 2x + 0.01565 cos 3x + 0.02 cos 4x + 0.218 sin x + 0.4328 sin 2x - 0.1935 sin 3x - 0.0317 sin 4x Die Funktion F(x) geben wir wieder in #1 ein, lassen uns mit "F" (siehe 1.Beitrag) Funktionswerte berechnen und zeichnen abschließend den Graphen:

5) Das DreiMäderlBeispiel als DERIVE-Datei:

 

" FOURIER-ReihenEntwicklung - DreiMäderlBeispiel "

" Vorher mit T L U INT_APPS laden und mit O N Digits:3 und X: "

DREIM(x):=CHI(-p ,x,- p /3)*(-COS(x))+CHI(-p /3,x, p /3)*x^3+CHI(p /3,x, p )*(1-LN(x))

FOURIER(DREIM(x),x,- p ,p ,4)