Christian Schweitzer, TGM Wien

Mathematische Inhalte:

• Differenzieren
• Kurvendiskussion
• Näherung durch Polynomfunktionen

Newton ging bei der Entwicklung seines Calculus vom Geschwindigkeitsproblem aus. Er dachte sich das Entstehen von Funktionen f(x,y) durch Überlagerung zweier Bewegungen. Die Koordinaten faßte er dabei als Funktionen der Zeit auf. Durch diese Betrachtungen kommt die Dynamik, die in der Analysis steckt, ganz besonders zum Ausdruck. Auch wenn wir heute in der Infinitesimal- rechnung die Symbolik von Leibnitz verwenden findet sich das Geschwindigkeitsproblem in vielen Lehrbüchern als Einführungsbeispiel in die Differentialrechnung (wenn auch in etwas anderer Betrachtungsweise, als bei Newton). Mit einem einfachen Versuch soll den Schülern diese "Bewegung" in der Analysis vorgeführt werden. Mit Hilfe des Computers werden Zeit- und Weg- messungen einer Bewegung aufgenommen. Aus dieser Meßtabelle kann man dann ein Weg-Zeit- Diagramm und in weiterer Folge ein Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm bzw. ein Beschleunigung- Zeit-Diagramm entwickeln. Aufgrund der grafischen Darstellung sollen für die Schüler Zusammen- hänge zwischen Ausgangsfunktion (Weg-Zeit) und erster (Geschwindigkeit-Zeit) bzw. zweiter Ableitung (Beschleunigung-Zeit) gewonnen werden. Man kann diesen Versuch als Einstieg in das Differenzieren wählen oder auch zur Vertiefung schon gewonnener Erkenntnisse. In der Diskussion der Ergebnisse sollte man auch auf die auftretenden Meßfehler, die notwendige Genauigkeit der Messung und die im Programm verwendeten Formeln eingehen. Das Testen anderer Formeln kann einfach in einer Tabellenkalkulationen geschehen, in die Meßwerte leicht übernommen werden können.

2. Beispiel

Das Entstehen der Meßzeiten kann aus den nachstehenden Diagrammen entnommen werden:

Bedeutung der einzelnen Zeiten:

t_k1 Die vordere Achse schließt den Kontakt Nr. k.

t_k2 Die vordere Achse öffnet den Kontakt Nr. k.

t_k3k3Die hintere Achse schließt den Kontakt Nr. k.

t_k4k4Die hintere Achse öffnet den Kontakt Nr. k.

Daraus kann ein Mittelwert berechnet werden, der etwa jenen Zeitpunkt angibt, zu dem der Schwerpunkt des Waggons die Mitte des Kontaktes überfährt:

Für die mittlere Geschwindigkeit beim Überfahren eines Kontaktes wurde

verwendet. Die Beschleunigung ergibt sich aus

Bei einer Fahrt des Waggons wurden z. B.: folgende Werte gemessen bzw. ermittelt:

Meßpunkt	Meßwerte				daraus berechnete Werte
Kontaktnr.	tk1	tk2	tk3	tk4	tk0	vk	ak
k	ms	ms	ms	ms	ms	m/s	m/s²
0				0	0	0	1
1	214	274	334	381	300,75	0,38	0,77
2	454	494	527	563	509,5	0,7	0,74
3	617	652	682	718	667,25	0,77	-0,23
4	773	810	844	885	828	0,68	-0,69
5	957	1001	1048	1102	1027	0,49	-0,83
6	1201	1261	1326	1395	1295,75	0,35	-0,32
7	1529	1599	1682	1756	1641,5	0,28	-0,09
8	1892	1962	2030	2093	1994,25	0,34	0,22
9	2192	2261	2319	2385	2289,25	0,4	0,1
10	2506	2575	2663	2756	2625	0,26	-0,42

 

Man kann nun die Funktionsgraphen darstellen und diskutieren.

3. Die Hardware

Die Berg- und Tal-Bahn besteht aus einer 1m langen Strecke Modellbahnschienen HO (Abhang mit anschließendem Hügel). Ein Modellbahnwaggon soll auf dieser Strecke selbständig aufgrund der Schwerkraft fahren. Über Kontaktschienen werden durch die elektrisch leitenden Schaltachsen des Waggons Impulse an die serielle Schnittstelle eines PC bzw. Laptops weitergeleitet. Das Programm BTB.EXE mißt und speichert die entsprechenden Zeiten.

Die Bahnkurve (Profil) wurde zunächst empirisch ermittelt: Der Waggon sollte für die Strecke eine Zeit von etwa 2 bis 3 Sekunden benötigen, damit man mit einer Meßgenauigkeit im Bereich vom ms auskommt. Weiters sollten die Extrema äquidistant sein.

Das ergab folgende Randbedingungen:

Start bei x = 0 mm in y = 30 mm Höhe

erster Tiefpunkt (Tal) mit y = 0 mm bei x = 300 mm

Hochpunkt (Berg) mit y = 10 mm bei x = 600 mm

zweiter Tiefpunkt (Tal - Beginn des waagrechten Auslaufes) mit y = 0 mm bei x = 900 mm
 

Als Kurvenform wurde eine Polynomfunktion 6. Grades gewählt, deren Koeffizienten noch zu bestimmen waren. Dies ist eine lohnende Aufgabe für die Verwendung von Computeralgebra- systemen. Auf der beiliegenden Diskette ist sie z.B. mit Mathematica (BTB.MA, BTB.MB) gelöst. Man erhält dabei die nebenstehende Funktion.

 

Das Profil hat damit die folgende Gestalt (Maße in mm):

:

Der elektrische Schaltplan ist sehr einfach. Für den Anschluß an den PC wird ein 9-poliges Nullmodemkabel verwendet. Hat man nur einen 24-poligen Anschluß für die serielle Schnittstelle zur Verfügung, so kann ein Standardumsetzer Verwendung finden. Für den Startimpuls muß noch der Schienenstrang des Prellbocks, der mit der Kontaktseite verbunden ist, etwa 60 mm (dieses Maß hängt vom Radstand des Waggons ab) vom Anfang der Strecke her eingeschnitten werden. Dieser Kontakt wird mit den anderen zehn Kontakten und dem PIN 1 des 9-poligen Schnittstellen- anschlusses verbunden. Der andere Strang wird an PIN 4 angeschlossen. Allfälliges Prellen der Kontaktachsen wird durch Beschweren des Waggons und einen Konsensator kompensiert.

Materialaufwand
 

Anzahl	Bezeichnung	ca. Preis
9 Stk.	Kontaktschienen	225
1 Stk.	Kontaktanschlußschiene	25
2 Stk.	Prellböcke	60
1 Stk.	1,2 m Holzleiste 40 x 60 mm entsprechend dem vorgeschlagenen Profil zuschneiden	40
1 Stk.	Preßspanplatte 1200 x 150 mm als Unterlage für das Profil	35
1 Stk.	Nullmodemkabel 9-polig	70
1 Stk.	Anschlußstecker für Nullmodemkabel 9 -polig zum Einbau in ein Gehäuse	50
1 Stk.	Kunststoffgehäuse ca. 50 x 50 x 20 mm zum Schutz der elektrischen Verbindungen	20
1 Stk.	ungepolter Kodensator etwa 200 nF	2
1 Stk.	Modellbahnwaggon (offener Güterwagen)	35
2 Stk.	Schaltachsen aus Messing sind entsprechend der im Waggon eingebauten Kunststoffachsen anzufertigen
3 Stk.	Messinggewichte zum Beschweren des WaggonsErhöhen der Reibung, Verhindern des Prellens
	Summe	562

 

4. Die Software

Die Dateien zum Herunterladen:

BTB EXE 85456 8.10.94 21.00

BTB PAS 16311 8.10.94 20.58

TIMER TPU 1024 13.04.94 19.02

Das Programm BTB.EXE entstand im Rahmen eines Projektes im EDV Unterricht und wurde auf einem PC-486 getestet. Es ist auch der Einsatz mit dem in den Schulen zur Verfügung stehenden Laptop möglich. BTB.PAS ist der zugehörige Quellcode, TIMER.TPU stellt Funktionen für die Zeitmessung zur Verfügung.

Beim Programmstart kann mit einem Parameter angegeben werden, welche serielle Schnittstelle zur Messung verwendet wird. z.B..: BTB 3 für die Verwendung von COM3:. Ohne Parameterangabe wird COM2: verwendet.

Nach dem Start kann man mit den Funktionstasten aus einem Menü auswählen:

Sind noch keine Meßwerte gespeichert, so können die Optionen F3 bis F6 (rot) nicht angesprochen werden.
 

F1 Informationen zum Programm

F2 Beim Aufnehmen einer Messung der Schaltzeiten tk1 .. tk4 für eine Fahrt des Waggons entsprechend den Anweisungen auf dem Bildschirm vorgehen: Waggon in Startposition bringen, Taste drücken und Waggon loslassen. Nach erfolgter Messung gelangt man mit der ENTER Taste zurück zum Menü. Sollte der Waggon hängen bleiben oder verunglücken", so erfolgt eine Fehlermeldung. Mit ESC kann der Meßvorgang jederzeit abgebrochen werden – es kann jedoch sein, daß das Programm erst nach einiger Zeit wieder reagiert.

 
F3 Die Meßwerte und die daraus errechneten Geschwindigkeiten und Beschleunigungen werden auf dem Bildschirm in Tabellenform angezeigt.

F4 ermöglicht die grafische Darstellung des Weg-Zeit-Diagramms, des Geschwindigkeit-Zeit- Diagramms und des Beschleunigung-Zeit-Diagramms in einem Bild auf dem Monitor.

 

F6 Speichern der Schaltzeiten in Form einer ASCII-Tabelle auf Diskette. Dadurch kann man die Meßwerte zum Beispiel in eine Tabellenkalkulation übernehmen und dort weitere oder andere Auswertungen vornehmen. Beispiele dafür zum Herunterladen:

BTB WK4 13420 8.10.94 15.22

F10 Beenden des Programmes