Volker Traxler, TGM Wien

Mathematische Inhalte:

• Darstellung von Wahrscheinlichkeitsfunktionen
• Standardisieren
• Modellbildung (Übergang diskret - stetig)
• Summe versus Integral, Differenzen-, Differentialgleichung, Grenzwert, uneigentliches Integral

Einleitung

Bespricht man die Binomialverteilung, so gelangt man über kurz oder lang zu ähnlichen Fragestellungen:

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 1000-maligem Werfen einer "idealen" Münze zwischen 468- und 532-mal Wappen zu erhalten ?
2. Die Wahrscheinlichkeit einer Knabengeburt beträgt p = 0.51. Bei einer Untersuchung von 10000 Geburten stellte sich die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit zwischen 5000 und 5200 Geburten beobachtet werden können?

3. Eine Zuverlässigkeitsanalyse hat ergeben, daß von einem bestimmten Teil 75% nach

5 Jahren Einsatz ausgefallen sein werden. In einer Anlage sind 100 derartige Teile eingebaut. Mit wie vielen Ausfällen muß man bei zehn Anlagen maximal rechnen (Irrtumswahrscheinlichkeit 10 %) ?
4. Von den ersten 1000 gefertigten Einheiten waren 35 fehlerhaft. Mit welchem Fehleranteil in der Fertigung muß man rechnen ( Irrtumswahrscheinlichkeit 5 %) ?

Bevor diese Fragestellung mit Hilfe des CAS Mathematica "visualisiert" wird, wird mit folgendem Befehl der Speicher gelöscht:

In[1]:=

Remove["Global`*"]

Weiters werden noch zusätzliche Pakete (packages) aus dem Bereich der Statistik und Graphik geladen:

In[2]:=

Needs["Statistics`Master`"]

In[3]:=

Needs["Graphics`Master`"]

Sammeln von Information

Betrachten wir verschiedene Arten der Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung, wobei eigene "Funktionen" definiert werden.

n Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion g(x) als Punktdiagramm:

¨ Die Funktion "punktdiagramm".

In[4]:=

punktdiagramm[stichprobenumfang_,
              wahrscheinlichkeit_,
              optionen___] :=

Module[{n,p,e,s,x},
n=stichprobenumfang;
p=wahrscheinlichkeit;
e=n*p;
s=Sqrt[n*p*(1-p)];

ListPlot[
  Transpose[{
    Table[x, {x,0,n}],
    Table[Evaluate[
      PDF[BinomialDistribution[n,p],x]],{x,0,n}]
            }],
     optionen,
     PlotRange->{{If[e-4s>0,e-4s,-.5],e+4s},
              {0,Max[Table[Evaluate[PDF[
                 BinomialDistribution[n,p],x]],
                    {x,0,n}]]}},
     AxesOrigin->{If[e-4s>0,e-4s,-.5],0}
         ]
     ];

Wie erfolgt nun der Aufruf der Funktion "punktdiagramm" ? Im Prinzip ganz einfach: durch Eingabe von punktdiagramm[n,p] , wobei n der Stichprobenumfang und p die Grundwahrscheinlichkeit der Binomialverteilung darstellt (siehe unten!). Danach drückt man gleichzeitig die Shift- und Enter-Taste.

In[5]:=

punktdiagramm[20,0.1];

n Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion g(x) als Stabdiagramm:

¨ Die Funktion "histogramm".

In[6]:=

histogramm[stichprobenumfang_,
           wahrscheinlichkeit_,
           breitedeshistogramms_,
           optionen___] :=
 

Module[{n,p,b,e,s,x},
n=stichprobenumfang;
p=wahrscheinlichkeit;
b=breitedeshistogramms;
e=n*p;
s=Sqrt[n*p*(1-p)];
GeneralizedBarChart[
  Transpose[{
          Table[x, {x,0,n}],
          Table[Evaluate[
          PDF[BinomialDistribution[n,p],x]],{x,0,n}],
          Table[b, {i,0,n}]
             }],
     optionen,
     BarStyle->{RGBColor[1,1,1]},
     PlotRange->{{If[e-4s>0,e-4s,-.5],e+4s},
              {0,Max[Table[Evaluate[PDF[
                  BinomialDistribution[n,p],x]],
                    {x,0,n}]]}},
     AxesOrigin->{If[e-4s>0,e-4s,-.5],0}
              ]
     ];

Geben Sie histogramm[n,p,breite] ein; die Argumente n und p siehe "punktdiagramm". Das Argument breite legt die Breite der Säulen fest.

In[7]:=

histogramm[20,0.1,0.1];

 
n Das Galtonbrett

Als Modell für den Sonderfall der Binomialverteilung mit p = 0.5, sowie später, als Modell für die Überlagerung von Störungen bei Fertigungsprozessen, dient das Galtonbrett. Das Fächergestell des Galtonbretts weist in Richtung Histogramm.

n Summe versus Integral

Hier kann die Tatsache in Erinnerung gerufen werden, daß Integrale das stetige Analogon zu Summen sind. ("Integrale sind im gewissen Sinne leichter zu handhaben als eine Summe vieler Summanden!").

Beispiel für Summen: Verteilungsfunktion G(x)

Auswertung der Information

Obiges Kapitel legt nahe, die Wahrscheinlichkeit g(x) nicht als Punkt, sondern durch den Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Breite 1 und der Höhe g(x) darzustellen.

In[12]:=

histogramm[20,0.1,1];

 

Der Computer soll nun Binomialverteilungen mit verschiedenen n, jedoch gleichem p, nacheinander darstellen. Betrachten wir folgende Animation:

¨ Die Funktion animatio

In[13]:=

animatio[stichprobenumfang_,
         wahrscheinlichkeit_,
         anfangswert_,
         schrittweite_,
         optionen___] :=
 

Module[{p,a,sch,ende,e,s,x},

p=wahrscheinlichkeit;
a=anfangswert;
sch=schrittweite;
ende=stichprobenumfang;
e=ende*p;
s=Sqrt[ende*p*(1-p)];

Do[
 GeneralizedBarChart[
    Transpose[{
     Table[x, {x,0,n}],
     Table[Evaluate[PDF[BinomialDistribution[n,p],x]],
                         {x,0,n}],
     Table[1,{x,0,n}]
            }],
        optionen,
        BarStyle->{RGBColor[1,1,1]},
        PlotRange->{ {-2,e+3.5*s},
                   {0,Max[Table[Evaluate[PDF
                  [BinomialDistribution[a,p],x]],
                         {x,0,n}]]}
               }
               ],
               {n,a,ende,sch}
   ]
 ];

Geben Sie animatio[n,p,anfangswert,schrittweite] ein. Die Argumente n und p siehe "punktdiagramm", anfangswert ist der Beginn, schrittweite die Schrittweite, ende aus dem Abschnitt Module ist ident mit dem Stichprobenumfang, die Schleifenvariable ist n.

In[16]:=

animatio[100,0.1,10,10]

Ziel: "Festnageln" der Lage ( my=0 ).
"Festnageln" der Streuung (ungefähr "gleiche Ausdehnung" der Histogramme).
Gesamtfläche des Histogramms muß 1 bleiben.

Transformation: u = (x-my)/sigma.

Ergebnis: Der Nullpunkt fällt mit Mittelwert zusammen.
Die neue Breite der Rechtecke beträgt das 1/sigma-fache der alten.
Die neue Höhe der Rechtecke beträgt das sigma-fache der alten.

¨ Die Funktion animatio1

In[17]:=

animatio1[stichprobenumfang_,
          wahrscheinlichkeit_,
          anfangswert_,
          schrittweite_,
          optionen___] :=
 

Module[{p,a,sch,ende,e,s},

p=wahrscheinlichkeit;
a=anfangswert;
sch=schrittweite;
ende=stichprobenumfang;
my=n*p;
sigma=Sqrt[n*p*(1-p)];

Do[
 GeneralizedBarChart[
    Transpose[{

(* "Festnageln" der Lage (my=0),Transf.:(x-my)/sigma *)

     Table[(x-my)/sigma, {x,0,n}],

(* Die neue Höhe der Rechtecke beträgt das sigma-fache
   der alten *)

sigma*Table[Evaluate[PDF[BinomialDistribution[n,p],x]],
                       {x,0,n}],

(* Die neue Breite der Rechtecke beträgt das
   1/sigma-fache der alten *)

     Table[1/sigma,{x,0,n}]
 

            }],
     optionen,
     BarStyle->{RGBColor[1,1,1]},
     PlotRange->{{-3.5,3.5},{0,0.45}}
            ],
            {n,a,ende,sch}
   ]
  ];

Geben Sie animatio1[n,p,anfangswert,schrittweite] ein. Argumente analog zu animatio.

Wichtiger Unterschied: siehe mit Kommentar (* *) versehener Code von animatio1 !!!!!

In[18]:=

animatio1[100,0.1,10,10];

Herleitung der Normalverteilung

Wie in der obigen Animation veranschaulicht, verteilt man die Wahrscheinlichkeit g(x,p) der diskreten Verteilung an der Stelle x gleichmäßig über den Bereich x-0.5 bis x+0.5.

Bilden wir mit Hilfe der Rekursionsformel für die Binomialverteilung die Differenz zweier benachbarter Werte

In[22]:=

df = f((n-x)/(x+1) p/q - 1) dx

Out[22]:=

und bringen den Klammerausdruck auf gemeinsamen Nenner

In[23]:=

gl1 = Together[df]

Out[23]:=

Ersetzen wir p x + q x durch x

In[24]:=

gl2 = gl1 /. -p x-q x-> -x

Out[24]:=

und führen wir die Standardabweichung

In[25]:=

s = Sqrt[n p q];

ein.

Standardisieren des Merkmals x (siehe Standardisierung der Binomialverteilung) und Bildung der Differenzengleichung

In[26]:=

gl3 = gl2/du //. {x -> u s + n p , dx -> du s }
 

Out[26]:=

ergibt für n->unendlich die rechte Seite der Differentialgleichung

In[27]:=

Limit[gl3,n->Infinity]

Out[27]:=

-(f u)

Die Lösung der Differentialgleichung

In[28]:=

lsg1 = DSolve[f'[u] == -f[u] u, f[u],u]

Out[28]:=

ergibt folgende Funktion:

In[29]:=

f[u_] = f[u] /. lsg1[[1]]

Out[29]:=

Als Wert für die Fläche unterhalb des Graphen erhalten wir:

In[30]:=

lsg2 = Integrate[f[u],{u,-Infinity,Infinity}]

Out[30]:=

Sqrt[2 Pi] C[1]

Um den Wert der Konstante C[1] festzulegen, wählen wir für die Fläche sinnvollerweise 1:

In[31]:=

lsg3 = Solve[lsg2 == 1, C[1]]

Out[31]:=

In[32]:=

lsg4 = C[1] /. lsg3[[1]]

Out[32]:=

Somit lautet unsere Approximationsfunktion:

In[33]:=

f[u_] = f[u] /. C[1]->lsg4

Out[33]:=

Der Graph der standardisierten Normalverteilung ergibt sich zu

In[34]:=

nv1 = Plot[f[u],{u,-3,3}];

Buchliste:

¨ Reichel, Hans Christian (Hrsg.): "Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik", Mathematik für Schule und Praxis, Verlag Hölder-Pichler-Tempsky, 1987
ISBN 3-209-00736-5

¨ Stange, Kurt : "Angewandte Statistik", Erster Teil, eindimensionale Probleme, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1970

¨ Wolfram, Stephen: "Mathematica, Ein System für Mathematik auf dem Computer", Zweite Auflage,Addison-Wesley Verlag (Deutschland) GmbH

¨ Kofler, Michael: "Mathematica", Einführung und Leitfaden für den Praktiker, 1. Auflage, Addison-Wesley Verlag (Deutschland) GmbH
ISBN 3-89319-485-1