Mag. Jörg Kliemann, Höhere landwirtschaftliche Bundeslehranstalt St.Florian

Mathematische Inhalte:

Es sei (x1, x2, ... xn) eine Folge von gleichverteilten Zufallszahlen auf dem Intervall [0,1[.

Dann ist  eine normalverteilte Zufallszahl mit m=0 und s²=1

((0,1)-normalverteilte Zufallszahl).

In der Praxis wählt man n=12.

Ist y eine (0,1)-normalverteilte Zufallszahl, dann ist z = sy+m eine normalverteilte Zufallszahl mit Mittelwert m und Varianz s² ((m,s²)-normalverteilte Zufallszahl).

2. Implementierung in einer Tabellenkalkulation

A1: Normalverteilte Zufallszahlen

A4: µ =

B4: 100

A5: sigma =

B5: 10

A6: sigma² =

B6: =B5*B5

D3: (0,1)-n.v.ZZ.

D4: =ZUFALLSZAHL()+ZUFALLSZAHL()+ ... +ZUFALLSZAHL()-6
                           \ _____________ 12x _____________/

Zelle D4 nach D5:D13 kopieren

F3: (µ,s²)-n.v.ZZ.

F4: =D4*$B$5+$B$4

Zelle F4 nach F5:F13 kopieren

Neuberechnung des Arbeitsblattes mit [F9].
 

Wichtiger Hinweis:

Sollten Sie die Daten gleich in der Tabelle, in der Sie die Stichprobenwerte simulieren, auswerten (z.B. Berechnung von Stichprobenmittelwert und Stichprobenvarianz), so ist zu beachten, daß zwar gerundete Stichprobenwerte ausgegeben werden, daß aber diese Werte mit maximaler Genauigkeit für weitere Berechnungen verwendet werden; eine "händische" Berechnung verwendet aber die gerundten Stichprobenwerte.

3. Implementierung in Derive

Aktivieren Sie folgende Menüpunkte:

Transfer Load Derive A:NVZZ.MTH

approX #3

Transfer Print Printer Expression #4

4. Implementierung in Pascal

5. Anwendung

In der Tabelle im Anhang finden Sie plausible Angaben für µ und s² einiger Größen aus der Landwirtschaft. Es möge sich jeder eine ähnliche Tabelle aus seinem Fachbereich zusammenstellen.

Damit ist es möglich, Stichproben mit realem Hintergrund etwa für Beispiele nicht zu messen, sondern zu simulieren:

Schritt 1:

Hühnerei: µ = 60 g , s²= 225 g²

Schritt 2:

Simulation

Schritt 3:

Beispiel:

Die Messung der Masse (in g) von 10 Hühnereiern hat folgende Stichprobe ergeben:

68.5    68.2    44.4    62.9    57.4    62.7    53.3    56.2    58.3    54.0

Schätzen Sie den Mittelwert und die Varianz der zugrundeliegenden Normalverteilung!

 
6. Ausblick

Weiters ergeben sich noch folgende Anwendungsmöglichkeiten:

- Heuristischer Zugang zum Begriff der Erwartungstreue von Schätzungen, im speziellen die Erwartungstreue von Stichprobenmittelwert und Stichprobenvarianz.

- Anwendung von Tests auf Normalverteilung.

Anhang: