Martin Gruber,HTL Klagenfurt, Lastenstraße 1
| Wertetabelle und Graph einer Funktion mittels Tabellenkalkulation |
Mathematische Inhalte:
verwendete Software: Tabellenkalkulation Excel 4.0, 5.0
Dateien zum Herunterladen: GR-FU41.XLW Arbeitsmappe mit Tabellen 1,2,3 für Excel 4.0
GR-FU51.XLS Arbeitsmappe mit Tabellen 1,2,3 für Excel 5.0
Die Tabellen 1, 2, 3 wurden bewußt unterschiedlich formatiert (mit und ohne Zeilen- und Spaltenköpfen bzw. Gitternetzlinien).
Bei Tabelle 3 ist zu beachten, daß die Zeilen von i = 21 bis i = 114 ausgeblendet sind. Für die Grafik ist dazu nach Aktivierung des Diagrammes im Menüpunkt Extras-Optionen-Diagramm das Schaltfeld ‘Nur sichtbare Zeilen werden gezeichnet’ auszuschalten.
Beispiel 1:
Als erste Aufgabe sollen Wertetabelle und Graph der Funktion
berechnet und dargestellt werden. Eine einfache und schnelle Lösung kann wie folgt aussehen:
Es müssen zwei Datenreihen, für die x-Werte und die Funktionswerte f(x), erzeugt werden.
Excel bietet die Möglichkeit Datenreihen (arithmetische und geometrische
Reihen, Datumsreihen usw.) bei gegebenem Anfangs- bzw. Endwert, sowie Differenz
und Quotienten automatisch zu erzeugen. Um aber möglichst unabhängig
von der verwendeten Version (4.0 bzw. 5.0) zu sein, erzeugen wir Reihe
für die x-Werte durch Kopieren der Berechnungsvorschrift selbst.
| In der nebenstehenden Abbildung sind die Berechnungsvorschriften
in der Formelansicht zu sehen.
In der Zelle B9 wird als Anfangswert der Wert -p (als Funktionswert der Excelfunktion pi()) eingetragen. Bei Berechnungsvorschriften muß der Zelleneintrag mit dem Gleichheitszeichen beginnen. B10 hat den Wert von B9 erhöht um die Schrittweite 0,2. Diese Berechnungsvor-schrift kann nun für alle x-Werte nach unten kopiert werden. |
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Anmerkung: Zum Kopieren mit dem Ausfüllkästchen markieren Sie die Zelle und ziehen das Ausfüllkästchen bei gedrückter linker Maustaste über den gewünschten Bereich, Maustaste loslassen.
Die relativen Bezüge bleiben beim Kopieren erhalten.
Für die Erstellung des Funktionsgraphen ist der Block mit den Koordinatenpaaren zu markieren und der Diagramm-Assistent aufzurufen. Als Diagrammtyp wird vorerst das Liniendiagramm gewählt. Bei den einzelnen Schritten mit dem Diagramm-Assistenten ist lediglich darauf zu achten, daß die erste Spalte des markierten Bereichs nicht die erste Datenreihe ist, sondern für die Achsen-beschriftungen verwendet wird (Schritt 4 von 5 bei Excel 5.0). Das Ergebnis ist in Tabelle 1 als Liniendiagramm zu sehen.
Anschließend können alle Elemente des Diagramms (Diagrammtyp, Farben, Skalierung und damit die Lagen der Achsen, usw.) editiert werden.
Nach diesem schnellen Erfolg müssen wir das offensichtlich richtige Ergebnis kritisch betrachten.
Wenn in der Wertetabelle die Schrittweite nicht konstant ist (z.B. um ein bestimmtes Intervall zu verfeinern), dann wäre der mit dem Liniendigramm erzeugte Graph vollkommen falsch. Der Grund liegt darin, daß beim Liniendiagramm die x-Werte der Wertetabelle in konstanten Schritten aufgetragen und nur als Beschriftung verwendet aber nicht als x-Koordinaten genommen werden.
Abhilfe schafft die Verwendung des Punkt (XY)-Diagramms, bei dem die Wertepaare (x, f(x)) tatsächlich als Koordinatenpaare der Funktion genommen werden. Ein Durchlauf mit dem Diagrammassistenten mit der Wahl des Diagrammtyps Punkt (XY)-Diagramm liefert das in Tabelle 1 dargestellte Punkt (XY)-Diagramm.
Damit steht auch der Parameterdarstellung von Funktionen nun nichts mehr im Wege. Vorerst aber noch einige Überlegungen zur Erstellung der Wertetabelle.
Die nach obigem Muster erzeugte Wertetabelle liefert ein schnelle Lösung, bedarf aber einiger Verbesserungen. Bei Änderung des Anfangswertes (B9) wird die restliche Tabelle automatisch nachgeführt. Bei Änderung der Schrittweite ist aber die neue Berechnungsvorschrift für die restlichen x-Werte zu kopieren.
Beispiel 2:
Den folgenden Ausführungen liegt die zweite Aufgabe, Graph und Wertetabelle der allgemeinen Sinusfunktion
(Tabelle 2) zugrunde. Dabei werden gleichzeitig weitere Möglichkeiten der Tabellenkalkulation gezeigt.
Eine Lösung für die Berechnung der x-Werte liegt darin, für alle x-Werte dieselbe Berechungs-vorschrift in der Form
anzugeben, mit x0 als Anfangswert, delta_x als Schrittweite und i als Zähler für den i-ten x-Wert.
Die Werte für x0 und delta_x sollen dabei in eigenen Zellen stehen, auf die über absolute Bezüge oder noch besser über den Namen zugegriffen wird.
Bei dieser Aufgabe sind 33 (bel.) Werte angenommen. Sie werden nicht
von 1 bis 33 gezählt, sondern um eine gewisse Symmetrie zu erreichen
von -16 bis 16. Die Spalte für i wird als Datenreihe mit Anfangswert
0 und der Schrittweite ±1 erzeugt.
| Für die Berechnung der Datenreihe der x-Werte
müssen nun den Zellen mit den Werten für x0 und delta_x (2. Zeile
in der nebenstehenden Abbildung) Namen (1. Zeile) zugewiesen werden.
Dazu werden (für Excel 5.0) diese 4 Zellen markiert und über den Menüpunkt Einfügen-Namen-Übernehmen ist in der zugeh. Dialogbox OK zu bestätigen. |
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Für die Berechnung der Funktionswerte sind für die Parameter a, b, c, d die Namen festzulegen, anschließend wird die Formel in die erste Zelle für f(x) eingetragen und für die restlichen Werte kopiert. Die Eintragungen sind in der obigen Abbildung in der Formelansicht zu sehen, die zugehörigen Werte sind aus Tabelle 2 ersichtlich.
Für den Graphen der allgemeinen Sinusfunktion sind die Spalten mit den Werten für x und f(x) auszuwählen und über den Diagrammassistenten das gewünschte Diagramm zu erzeugen.
Die Vorteile des etwas größeren Aufwandes gegenüber der ersten Lösung liegen nicht nur in der sehr bequemen und übersichtlichen Änderungsmöglichkeit der Anfangswerte und der Parameter.
Durch den symmetrischen Aufbau der Wertetabelle um den Punkt x0 und der Änderung der Schrittweite delta_x kann die Umgebung des Punktes x0 beliebig vergrößert oder verkleinert werden.
In Tabelle 2 ist die unterschiedliche Lage der y-Achse in den beiden Diagrammen ersichtlich. Sie kann nach einem Doppelklick auf die x-Achse im Dialogfeld für Skalierung eingetragen werden.
Der Unterschied zwischen Liniendiagramm und Punkt (XY)-Diagramm besteht darin, daß beim Liniendiagramm die y-Achse an eine Rubrik (z.B. 17 Zeile der Wertetabelle, nämlich genau an die Stelle für den Wert x0) gebunden ist, während sie beim Punkt (XY)-Diagramm durch einen Wert (z.B. 0) festgelegt wird.
Beipiel 3:
Die dritte Aufgabe ist die Darstellung einer Funktion in Parameterform. Es soll die Bahnkurve eines Punktes berechnet und gezeichnet werden, die beim Abrollen eines Kreises (Radius: rb) auf einem festen Kreis (Radius: ra) ensteht (Trochoide). Der Punkt muß dabei nicht auf dem bewegten Kreis liegen (u ¹ 1).
Die Funktionsgleichung sowie die Wertetabelle und der Funktionsgraph sind in Tabelle 3 angegeben.
Anmerkung: Die unüblichen Namen für die Radien ra und rb sind
erforderlich, da Excel r1, r2 als Namen für Zellen interpretiert.
| Für die Festlegung der Variablennamen wird
analog zu Beispiel 2 vorgegangen.
t_a und t_b sind Anfangs- und Endwert des Parameters t, n ist die Anzahl der Teilintervalle. Daraus wird die Schrittweite delta_t berechnet. |
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Die Pfeile "-->" sollen auf Eingabegrößen hinweisen und werden von Excel bei der Namenszuweisung ignoriert.
Die Wertetabelle enthält eine Spalte für die Zählvariable i, sowie die Spalten für den Parameter t und die Funktionswerte x(t) und y(t).
Die Berechnngsvorschriften sind in der nachstehenden Abbildung in der Formelansicht angegeben.
Für den Graphen sind die Spalten für x(t) und y(t) zu markieren und im Diagrammassisten der Diagrammtyp Punkt (XY)-Diagramm auszuwählen. Dann kann nach der Anpassung der Farben, Skalierung usw. mit der Variation der Parameter begonnen werden, wobei zum Teil recht überraschende Ergebnisse auftreten, viel Spaß.
Literaturverzeichnis:
[1] EXCEL Handbuch
Anhang:
