Gerald Kaiser , HTBL Kapfenberg
| Amplitudenspektrum einer Fourier - Reihe |
Es dies der 3. und letzte Teil zum Thema Fourier - Reihen .
Zur Erinnerung :
Teil 1 : Darstellung einer Funktion durch eine Fourier - Reihe ( Mai
1993 )
Teil 2 : Rekonstruktion einer Funktion durch eine Fourier - Reihe (
Oktober 1993 )
Aufgabenstellung:
Von einer Fourier - Reihe soll das Amplitudenspektrum dargestellt werden und der Zusammenhang zwischen der Fourier - Reihe und dem Spektrum erkannt werden .Anmerkung:
Der erste Teil soll zunächst dem Schüler den Zusammenhang eines Amplitudenspektrums und der Funktion näherbringen . Im zweiten Teil werden dann Möglichkeiten angegeben ,wie man von Fourier - Reihen ausgehend auf die entsprechenden Spektren kommt .Zeitaufwand:
eine DoppelstundeLehrplanbezug:
4.Jahrgang ElektrotechnikMediales Umfeld:
verwendete Medien :Die Aufgabenstellung wurde ausschließlich mit DERIVE Version 2.51 durchgeführt .1.Teil:
.
Als nächsten Schritt unterteilt man den Bildschirm in 3 Fenster .
ist durch die Angabe der Faktoren a ( Amplitude ) und w
( Kreisfrequenz w = 2p
f ) bestimmt . Das bedeutet , daß durch die Angabe dieser Größen
eine Sinusfunktion festgelegt werden kann .
Dies wird als nächstes grafisch dargestellt . Dazu wird die oben beschriebene Funktion im Algebrafenster eingegeben .
1 : sin ( t ) -
Dann werden die " Amplituden " als Funktion der Frequenz festgelegt . Dazu gibt man die Anfangs - und Endpunkte an .
2 : 
Im nächsten Schritt wird mit Hilfe der Cursortasten sin ( t ) markiert .
Mit < F1> gelangt man in das Grafikfenster 2 .
Mit Scale x = 2 und y = 1 wird dis Skalierung geändert und mit Move x = 2 und y = 0 und anschließendem Center wird der Koordinatenursprung verschoben .
Dann wird die Funktion mit Plot gezeichnet .
Mit < F1> gelangt man in das Grafikfenster 3 .
Mit Scale x = 2 und y = 1 wird dis Skalierung geändert und mit Move x = 2 und y = 0 und anschließendem Center wird der Koordinatenursprung verschoben .
Mit Options - Connected - Large werden die Voraussetzungen geschaffen , daß man senkrechte Strecken zeichnen kann .
Mit < F1 > geht man wieder in das Algebrafenster und markiert die erste Matrix innerhalb der Klammern .
Mit < Shift > + < F1 > gelangt man wieder in das Grafikfenster 3 und mit Plot wird die dazugehörige Amplitude gezeichnet .
Als nächstes markiert man 
und mit Author - < F3 > erhält man die gewünschte
Funktion . Mit Plot zeichnet man die Funktion im Grafikfenster
2.
Dann wird die 3 . Matrix markiert und im 3.Grafikfenster gezeichnet .
Als Abschluß markiert man die 2 . Matrix und zeichnet diese .
Der Bildschirm soll nun folgendes Aussehen haben :
Da die Funktionen und die entsprechenden Amplituden die gleiche Farbe aufweisen , kann der Schüler sehr gut den Zusammenhang optisch erkennen .
Ebenso bei w = 2 ist die Amplitude gleich null . Das bedeutet ,daß der Amplitude null die Funktion y = 0 * sin(2t) = 0 zugeordnet wird .
Jeder Teilfunktion wird eine bestimmte Amplitude und bestimmte Kreisfrequenz im Spektrum zugeordnet .
Als letzten Schritt werden im Grafikfenster 2 mit Delete - All alle Funktionen gelöscht und die resultierende Funktion gezeichnet .
Aus dem Amplitudenspektrum soll der Schüler nun erkennen , daß die Funktion im Grafikfenster 2 durch zwei Sinusfunktionen mit den entsprechenden Amplituden und Frequenzen dargestellt werden kann . Weiters soll man darauf hinweisen , daß nur die Absolutbeträge der Amplituden von Bedeutung sind.
Mit diesen Überlegungen und Darstellungen kann man , so denke ich , den Schülern das Amplitudenspektrum wirklich näher bringen .
2.Teil:
Hier möchte ich nur mehr die entsprechenden Befehle für die Ausführung eines Amplitudenspektrums angeben . Es ist wichtig , daß die Fourier - Reihe mit einer Summenformel dargestellt wird , damit man für die Amplituden eine allgemeine Formel aufstellen kann .
Beispiel 1:
Die Funktion y = x ist im Intervall [ - p , p ] in eine Fourier - Reihe zu entwickeln und das zugehörige Amplitudenspektrum ist grafisch darzustellen .
Auf die Berechnung der Fourier - Reihe möchte ich hier nicht mehr eingehen .
Für die Fourier - Reihe ergibt sich : 
Betrachtet man nur die Absolutbeträge so erhält man :
1 : ampl := VECTOR 
Als nächstes definiert man e . e entspricht der Anzahl der Amplituden .
2 : e := 8
3 : SIMPLIFY # 2
Mit den entsprechenden Optionen , die im Teil 1 erklärt wurden , zeichnet man das Spektrum .
Beispiel 2 :
Von der Fourier - Reihe f(x) = 
ist das Amplitudenspektrum darzustellen . Die Fourierkoeffizienten sind
für gerade n gleich null . Das wird in folgender Definition berücksichtigt
.
Programm :
1 : ampl (n ) : = 
2 : VECTOR ( [[n,0],[n,ampl(n)]] , n , 1 , e )
3 : a :=2
4 : e :=9
5 : SIMPLIFY # 2
Man kann die Fourier - Reihe noch auf eine andere Weise darstellen .
Mit Hilfe der Beziehungen :
Amplituden : 
mit 
und dem 1. Summensatz (
) erhält man :
Mit dieser Beziehung kann man ein Amplitudenspektrum ( diskrete Amplituden
An in Abhängigkeit von n ) , als auch ein Phasenspektrum
( Phasenverschiebung 
als Funktion von n ) darststellen.
Für die meisten Amplitudenspektren ist diese Darstellung aber nicht notwendig .