Markus Hörhager, HTBLA-Jenbach
 
Investitionsrechnung

Mathematische Inhalte:

Rentenrechnung mit veränderlichen Renten, numerische Nullstellensuche bei Bestimmung des internen Zinsfußes. Anwendung: Anwendung endlicher geometrischer Reihen. Kurzzusammenfassung: Ein Schüler soll später in der Lage sein, eine Entscheidung für die beste Investition bei unterschiedlichen Anbietern von Systemlösungen treffen zu können. Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten ein und dasselbe Produkt zu fertigen, angeschaffte Maschinen können unterschiedlich teuer sein und ebenso die mit der Anschaffung verknüpften Wartungsverträge.

Die Entscheidung kann entweder aufgrund des internen Zinsfußes oder aufgrund des höchsten Kapitalwertes unter Berücksichtigung der aktuellen Zinslage getroffen werden. Es kommen dabei auch numerische Methoden der Nullstellensuche zum Einsatz. Als Werkzeug kann entweder die Zielwertsuche in Excel, ein Computeralgebraprogramm oder auch ein Taschenrechner wie der TI92 verwendet werden.

 Lehrplanbezug: Mathematik 3 Jahrgang, Zinsen- und Rentenrechnung im Anschluß an endliche geometrische Reihen. Zeitaufwand: Je nach Ausbau 6 bis 8 Stunden. Mediales Umfeld: EXCEL, MathCad, TI92 1. Kapitalwertmethode, interner Zinsfuß

Anwendung sich regellos ändernder Renten gibt es in der Investitionsrechung. Jährliche Ausgaben und Einnahmen Et ergeben eine entsprechende Jahresrate .

Zu Beginn wird man investieren müssen (Anschaffungskosten), aber nach einer bestimmten Anzahl von Jahren sollte sich die Investition (abhängig vom Zinssatz) rentieren.

Bei der Kapitalwertmethode berechnet man den Barwert (auch Kapitalwert genannt) der Rentenzahlungen für einen bestimmten Zinssatz.

Ist der Barwert positiv, so kann man sich an die geplante Investition heranwagen, andernfalls sollte man die Finger davon lassen.

Funktion von q! Im folgenden Beispiel wollen wir uns ansehen, daß die Entscheidung, ob eine Investition getätigt werden soll, vom Zinssatz p und damit auch vom Zinsfaktor q abhängig ist. Weiters bestimmen wir den internen Zinsfuß der Investition.

Bsp1: Für eine geplante Investition legen Sie einen Einnahmen- und Ausgabenplan vor:
 
t
0 0 435000 -435000
-435000
-435000
1 150000 45000 105000
97223
94595
2 180000 60000 120000
102881
97395
3 210000 80000 130000
103198
95055
4 190000 70000 120000
88204
79048
5 170000 650000 105000
71461
62312
      KW:
27967

Investition rechnet sich
-6595

Finger weg

Berechnung des internen Zinsfußes einer Investition:

Interner Zinssatz ist jener Zinssatz wo Kapitalwert null wird:

mit  Andere (äquivalente) Definition über Cash-Flow

Interner Zinssatz ist jener Zinssatz wo Kapitaleinsatz = Cash Flow

Kapitalwert verschwindet

Für welchen Zinsfaktor q ist nun der Kapitalwert unserer Investition null?

Startwert  Newtonverfahren liefert  Die Schüler mit dem Newtonverfahren zu quälen halte ich für wenig sinnvoll. Man wird es ihnen wohl einmal an einem Beispiel erklären und die Iterationsschritte "zu Fuß" rechnen, aber in der Folge wird man auf ein Werkzeug zurückgreifen. Entweder verwenden Sie die Zielwertsuche in Excel, die solve-Funktion am TI92/89 (AUTO oder APPROX-Mode) oder die wurzel-Funktion von Mathcad.

2. Vergleich von mehreren Investitionen

Bsp2: Für welche Investition entscheide ich mich?

I: Kapitaleinsatz 30.000$

Liquidationsnettoerlös (Verkauf) letzter Rente hinzufügen

Jahre
t 
für q=1,1
für q=1,14
0
-30000
-30000
-30000
-30000
1
7000
6481
6363
6140
2
9000
7716
7438
6926
3
9000
7144
6762
6075
4
8000
5880
5464
4737
5
11787
8022
7319
6122
Kapitalwert (Goodwill)
14787
5243
3346
0
int. Zinsfuß 14%
II: Kapitaleinsatz 50.000$ 

n=5
t
für q=1,1
für q=1,12
0
-50000
-50000
-50000
-50000
1
12000
11111
10909
10715
2
14000
12002
11570
11161
3
14000
11113
10518
9965
4
15000
11025
10245
9533
5
15203
10347
9440
8626
Kapitalwert (Goodwill)
20203
5598
besser wie I
2682 
schlechter wie I
int. Zinsfuß 12%

Die Abhängigkeit des Kapitalwertes in Abhängigkeit vom Zinssatz p ist im nachfolgenden Diagramm für beide Investitionen dargestellt. Investition I hat zwar einen höheren internen Zinsfuß, aber bei einem niedrigen Zinssatz unter pg hat Investition II einen höheren Kapitalwert.


Bei sind die Kapitalwerte beider Investitionen gleich:

= bzw. numerisch lösen

Newton für:, 

 Berechnung des internen Zinsfußes beider Investitionen: Investition I: 

                Newtonverfahren:interner Zinsfuß

 Investition II: 

                Newtonverfahren:interner Zinsfuß

 3. Einsatz von Mathcad in der Investitionsrechnung

Renten = Einnahmen - Ausgaben als Vektoren definieren:

    Laufzeit

Rentenbarwert bzw. Kapitalwert der Investition

Zinssatz: Kapitalwert der Investition I: Kapitalwert der Investition II:

Der interne Zinsfuß ist jener Zinssatz, bei dem der Kapitalwert einer Investition 0 wird.

Der interne Zinsfuß wird numerisch mit der wurzel-Funktion bestimmt.

                             Interner Zinsfuß der Investition I

                    Interner Zinsfuß der Investition II

Zinsfuß wo beide Investitionen gleichen Kapitalwert ergeben:

Verlauf des Kapitalwertes in Abhängigkeit vom Zinssatz p:





4. Aufgabenstellung aus der Mathematikklausur Wirtschaftsingenieurwesen 1998

Bei einer Investition haben Sie die Auswahl zwischen 3 Systemen die gleiche Einnahmen versprechen, aber unterschiedliche Anschaffungs- und Wartungskosten verursachen.

t
0
  
400000
200000
320000
1
150000
35000
90000
60000
2
170000
38000
100000
65000
3
200000
42000
110000
70000
4
180000
47000
120000
75000
  1. Für welche Variante entscheiden Sie sich aufgrund des Kapitalwertes bei einem Zinsfuß von p=8%?
  2. Wie groß ist der interne Zinsfuß jeder Investition? Wenn Sie aufgrund des internen Zinssatzes Ihre Entscheidung fällen müßten, für welche Investition würden Sie sich entscheiden?
  3. Zeichnen Sie den Verlauf des Kapitalwertes in Abhängigkeit vom Zinssatz p für alle Investitionen in ein Diagramm.
ð Verwenden Sie zur Durchführung dieser Aufgabe entweder Excel oder Mathcad und speichern Sie Ihre Ergebnisse in der Datei <Name>2.XLS oder <Name>2.MCD. Diese Aufgabe war eine von 3 Aufgaben insgesamt. Mit den vorgestellten Methoden können Sie diese Aufgabe im Nu lösen. Viel Spaß beim Lösen dieser Aufgabe!