Mathematische Inhalte:

Lösungen von Problemstellungen aus dem Bereich der Finanzmathematik

Mit dem TVM-Solver stand den Benutzern des TI-83/TI-83+ schon bisher ein komfortables Hilfsmittel zur Lösung finanzmathematischer Aufgaben zur Verfügung.
Seit August 2000 gibt es nun auch eine Flash-Applikation dieses TVM-Solvers für den TI-89/TI-92+ sowie eine Version für Excel. Damit reduziert sich der Rechenaufwand im Bereich der Finanzmathematik gewaltig und es können auch sehr umfangreiche anwendungsorientierte Beispiele besprochen werden.

3. Jahrgang HAK

ca. 1 Wochenstunde zur Einführung des Solvers

Excel oder TI-89 oder TI-92 Plus oder TI-83/TI-83 Plus.

Grundlegendes

Mit Hilfe des TVM-Solvers können Sie alle Größen, die im Bereich der Zinseszins- und Rentenrechnung auftreten, einfach berechnen. Der Solver arbeitet mit dekursiver theoretischer Verzinsung.
Die Formel nach der die Berechnungen erfolgen lautet (siehe auch AMMU November 98; Seite1):

mit .

Bezeichnungen:

N.... Number of payment periods; Zahl der Raten; (Dauer in Jahren)
I%... Annual interest rate; nomineller dekursiver Jahreszins
PV... Present Value; Barwert
PMT... Payment Amount; Raten
FV... Future Value; Final Value; Zukunftswert; Endwert
P/Y... Number of payment periods per year; Zahlungen (regelmäßig) pro Jahr [PpY]
C/Y... Number of compounding periods per year; Zinseszinsperioden pro Jahr [CpY]
PMT... END BEGIN
END: bedeutet Zahlung am Ende einer Rentenperiode (nachschüssig; k = 0)
BEGIN: bedeutet Zahlung am Anfang Rentenperiode (vorschüssig; k = 1)

Alle Beträge, die Sie erhalten werden positiv eingegeben. Alle Beträge, die Sie zahlen müssen werden mit einem negativen Vorzeichen (-) eingegeben.

Die folgenden Beispiele sollen einen Überblick über die Anwendungsmöglichkeiten des TVM-Solvers geben. Da die Eingabe in jeden der Solver auf sehr ähnliche Art erfolgt wird die Lösung
jeder Aufgabe immer nur mit einem Teil der Solver dargestellt.

Beispiel 1: Zinseszinsrechnung (TI-92+/TI-89)
Frau A. legt einen Betrag von € 50 000,-- auf ein Sparbuch.
Über welchen Betrag kann sie nach 10 Jahren bei i = 4% (theoretische Verzinsung) verfügen?
 

N=10 10 Jahre  I%=4 nomineller Jahreszins PV= -50000 negatives Vorzeichen beachten PMT=0 keine regelmäßigen Ratenzahlungen FV=? gesucht P/Y=1 Eingabe 1 (Zeit in Jahren) C/Y=1 eine Zinseszinsperiode pro Jahr PMT: bei Zinseszinsrechnung ist diese Eingabe egal Zur Lösung dieser Aufgabe mit dem TI-89/TI92+ drücken Sie zunächst die Taste APPS ; wählen Sie 1: FlashApps... und dann Finance.

Geben Sie die Werte – wie beschrieben– in das Eingabemenü des TVM-Solvers ein. Setzen Sie dann den Cursor neben die zu berechnende Größe und drücken Sie die Taste F2 , um die Aufgabe zu lösen. Neben der berechneten Größe erscheint eine Markierung.
Antwort: Frau A. kann nach 10 Jahren über ein Kapital von € 74012,21 verfügen.

Beispiel 2: Zinseszinsrechnung (TI-83+/TI-89)
a) Welchen Betrag muss Frau A. heute auf ein Sparbuch legen, wenn sie in 15 Jahren über
€ 100 000,-- verfügen möchte? (i₄ = 1,5% , theoretische Verzinsung)
 

N=15 15 Jahre I%=6 nomineller Jahreszins = 1,5*4 PV= ? gesucht; beachten Sie das negative Vorzeichen!  PMT=0 keine regelmäßigen Ratenzahlungen FV=100000 gesucht P/Y=1 Eingabe 1  C/Y=4 4 Zinseszinsperioden pro Jahr PMT: bei Zinseszinsrechnung ist diese Eingabe beliebig

Antwort: Frau A. muss heute € 40 929,60 einzahlen, um in 15 Jahren über € 100 000,-- verfügen zu können
 

b) Wie hoch wäre der einzuzahlende Betrag bei i12 = 0,5%?  I% = 6 nomineller Jahreszins = 0,5*12 C/Y=12 12 Zinseszinsperioden pro Jahr Der einzuzahlende Betrag ist € 40748,24.

Beispiel 3: (Rentenrechnung; Excel, TI-89)
Herr A. möchte am Beginn eines jeden Monats insgesamt 10 Jahre lang € 2 000,-- von einem Sparbuch abheben. Welcher Betrag muss unmittelbar vor der ersten Auszahlung auf dem Sparbuch liegen, wenn nach Auszahlung der letzten Monatsrate kein Rest auf dem Sparbuch liegen soll?
i₂=2%
 

N=120 120 Monatsraten I%=4 nomineller Jahreszins = 2*2 PV= ? gesucht; beachten Sie das negative Vorzeichen!  PMT=2000 monatliche Auszahlung FV=0 kein Rest am Ende der Laufzeit P/Y=12 12 Raten pro Jahr C/Y=2 2 Zinseszinsperioden pro Jahr; Achtung Automatik! PMT: BEGIN; Zahlungen am Beginn der Periode

Um die Aufgabe mit dem TVM-Solver für Excel zu lösen, geben Sie die gegebenen Werte in die Tabelle ein und bestätigen Sie jede Eingabe mit ENTER.
Klicken Sie mit der Maus auf die Taste mit der Größe, die Sie berechnen wollen.

Beispiel 4: (Rentenrechnung, Berechnung des Zinssatzes: Excel; TI-83)
Herr Max Muster erhält von seiner Bank einen Privatkredit zu folgenden Konditionen:
Kreditbetrag: € 100 000,--
Rechtsgebühr € 800,--
Bearbeitungsgeb. € 1 000,--
Auszahlungsbetrag € 98 200,--
60 Monatsraten á € 1947,52 erstmals 1 Monat nach Kreditauszahlung
Wie hoch ist die effektive Verzinsung?

N=60                       60 Monatsraten
I%=?                        nomineller Jahreszins gesucht
PV= 98200              ausgezahlter Betrag
PMT=-1947,52       monatliche Rate; beachten Sie das negative Vorzeichen!
FV=0                       kein Rest am Ende der Laufzeit
P/Y=12                   12 Raten pro Jahr
C/Y=1                     1 Zinseszinsperiode pro Jahr
PMT: END;             Zahlungen am Ende der Periode
 

Antwort: Der tatsächliche Effektivzins beträgt 7,299%.

Der von der Bank angegebene Effektivzins ist etwas niedriger als der berechnete Effektivzins.
Was ist der Grund dafür?
Antwort: Laut BWG 1994 berücksichtigt die Bank die Rechtsgebühr bei der Berechnung des Effektivzinssatzes nicht. Somit ergibt sich:
PV= 99000 ausgezahlter Betrag 98200 + 800 = 99000
 

Der von der Bank angegebene Effektivzins beträgt 6,9367%.

Beispiel 5: (Rentenumwandlung, Rentendauer, Rentenrest)

Herr M. hat Anrecht auf eine am 01. 11. 2000 beginnende neunmalige vorschüssig zahlbare Quartalsrente in der Höhe von € 20 000,-- je Rate.
Er will statt dieser Quartalsrente eine Monatsrente mit einer Ratenhöhe von € 5 000,--.
Die erste Auszahlung der Monatsrate soll am 01. 05. 2001 erfolgen.
Wie viele volle Monatsraten kann Herr M. beziehen und welcher Betrag (Rentenrest) bleibt am Tag der Auszahlung der letzten vollen Monatsrate auf dem Konto. i₂ = 2,5%

Schritt 1: Berechnung des Barwertes der Quartalsrente.  N=9 9 Quartalsraten I%=5 nomineller Jahreszins  PV= ? Barwert; beachten Sie das negative Vorzeichen! PMT=20000 monatliche Rate;  FV=0 kein Rest am Ende der Laufzeit P/Y=4 4 Raten pro Jahr C/Y=2 2 Zinseszinsperioden pro Jahr; Achtung auf die Automatik! PMT: BEGIN; vorschüssige Raten
Schritt 2: Der berechnete Barwert wird fünf Monate aufgezinst.  N=5/12 5/12 Jahre I%=5 nomineller Jahreszins  PV= -171413,656 Barwert; beachten Sie das negative Vorzeichen! PMT=0 keine Ratenzahlung;  FV=174977,406 Wert der Quartalsrente am 1.4.2001 P/Y=1 Zahlungen pro Jahr C/Y=2 2 Zinseszinsperioden pro Jahr; Beachten Sie die Automatik! PMT: beliebig Der Wert der Quartalsrente am 1.4.2001 beträgt € 175977,41 und ist der Barwert einer nachschüssigen Monatsrente mit erster Auszahlung am 1.5.2001.
Schritt 3: Aus dem Barwert wird die Laufzeit der Monatsrente berechnet. N=? gesucht, Zahl der Monatsraten I%=5 nomineller Jahreszins  PV= -174977,406 Barwert der Monatsrente; negativ  PMT=5000 Ratenzahlung;  FV=0 Endwert der Monatsrente P/Y=12 Zahlungen pro Jahr C/Y=2 2 Zinseszinsperioden pro Jahr; Beachten Sie die Automatik! PMT: END; nachschüssige Rente Es werden 37 volle Monatsraten à € 5000,-- ausgezahlt. Der Rentenrest (am Tag der letzten Vollrate) ist der Endwert der nachschüssigen Monatsrente.
Schritt 4: Berechnung des Rentenrests am Tag der letzten Vollrate. (Schätzwert: ca. 87% von 5000 = 4350,--) N=37 gesucht, Zahl der Monatsraten  I%=5 nomineller Jahreszins  PV= -174977,406 Barwert der Monatsrente; negativ  PMT=5000 Ratenzahlung;  FV=? gesucht; Rentenrest P/Y=12 Zahlungen pro Jahr C/Y=2 2 Zinseszinsperioden pro Jahr PMT: END; nachschüssige Rente Der Rentenrest (zugleich mit der letzten Vollrate) beträgt € 4339,82.

Worauf Sie achten sollten
Black-Box: Der TVM-Solver ist ein klassisches Tool, das im Unterricht in Form einer Black Box eingesetzt werden kann. Es ist allerdings empfehlenswert zunächst einige elementare Aufgaben auf die "klassische" Methode, dh mit Hilfe der Summenformel für geometrische Folgen zu rechnen. Die Schüler müssen den Hintergrund der Berechnung verstehen, erst dann ist der Einsatz des TVM-Solvers sinnvoll.
Der Solver soll also vor allem den Rechenaufwand bei finanzmathematischen Problemstellungen verringern und genauere Ergebnisse liefern.
Der Lehrer kann sich im Unterricht auf die Probleme der Finanzmathematik konzentrieren und rein rechentechnische Probleme treten in den Hintergrund. Finanzmathematik kann so attraktiver gestaltet werden. (Die Unterrichtspraxis zeigt, dass auch ohne TVM-Solver die Rentenformel früher oder später von jedem Schüler als Black-Box verwendet wird.)
Protokoll: Da die rechnerische Lösung einer Finanzmathematikaufgabe fast zur Gänze vom TVM-Solver ausgeführt wird, ist auf eine geeignete Darstellung des Lösungsweges zu achten.
Hier hat sich die Führung eines Protokolls, das die einzelnen ausgeführten Rechenschritte in Schlagworten erklärt, sehr bewährt. Eine Aufstellung der eingegebenen Werte (Eingabeprotokoll) und eine grafische Darstellung der Zahlungsströme in Form einer Zeitlinie sollte die Beschreibung der einzelnen Rechenschritte ergänzen.
Englische Begriffe: In der Finanzwelt setzen sich die englischen Fachbegriffe immer stärker durch. Es ist daher auch im Mathematikunterricht sinnvoll, mit den englischen Bezeichnungen des Solvers zu arbeiten.

Woher können Sie die Solver beziehen?

Der TVM-Solver ist auf dem TI-83/TI-83plus bereits bei Auslieferung gespeichert.
Den Solver für den TI-89/TI-92plus finden Sie als Flash-Applikation gratis im Internet. Um diese Applikationen auf den Rechner zu laden benötigen Sie das TI-Graph-Link Kabel mit der dazugehörigen neuesten Software.

http://www.ti.com/calc/flash/89.htm
http://www.ti.com/calc/flash/92p.htm
http://www.ti.com/calc/oesterreich/

Der TVM-Solver für Excel wurde von mir erstellt, ist der Leistung des TVM-Solvers von TI gleichwertig und ist ebenfalls kostenlos über das Internet erhältlich. Die Internetadressen sind:

http://tinhof.freeyellow.com (den Solver finden Sie im Downloadbereich)

http://www.trauner.at

Literatur:
Mathematik für HAK Band II; Schneider/Thannhausser; TRAUNER Verlag
Mathematik mit den TI-83 und TI-83plus Teil 2; Tinhof; TRAUNER Verlag
Time, Value, Money: Applications on the TI-83; R. und C. Hoffmann; Texas Instruments