Markus Paul, BHAK Schwaz ; Friedrich Tinhof, BHAK Eisenstadt
 
Klassisches Geburtstagsproblem

Mathematische Inhalte:

elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kurzzusammenfassung:
Das klassische Geburtstagsproblem soll mit Hilfe des TI-83 und mit Excel visualisiert werden
Lehrplanbezug:
5. Jahrgang HAK
Zeitaufwand:
ca. 1 Wochenstunde
Mediales Umfeld:
TI-83/TI-83 Plus ; Excel
In einer Klasse der BHAK Eisenstadt befinden sich 27 Schüler.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 27 Schüler an verschiedenen Tagen Geburtstag haben?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag mehr als ein Schüler Geburtstag hat?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass allgemein bei n Personen an einem Tag mehr als eine Person Geburtstag hat?

Bei der Lösung der Aufgabe nehmen wir an, dass alle 365 Tage eines Jahres gleichwertig sind und wir vernachlässigen Schaltjahre.

A.... mehrere Personen haben an einem Tag Geburtstag
.... alle Personen haben an verschiedenen Tagen Geburtstag
 
 

Zahl der Personen
n
Wahrscheinlichkeit, dass n Personen an verschiedenen Tagen Geburtstag feiern.

Wahrscheinlichkeit, dass bei n Personen mehrere Personen an einem Tag Geburtstag haben.
P(A) = 1 - 
1
 = 1 = 0
2
3
4
...
...
...
27
...
...
...
n

P(A) =  für n < 366
 

Eine direkte Berechnung aller Wahrscheinlichkeiten ist wegen der Berechnung von 365! nicht möglich. Wir wählen die rekursive Form zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten.
 
Erste Lösung: 

Zur Berechnung verwenden wir den TI-83/TI-83 Plus im Folgemodus (Seq).
Im Folgemodus ändert sich der Funktionseditor.
Rufen Sie mit o den Eingabebildschirm für Folgen auf und geben Sie folgende Terme ein:
nMin =1                                            kleinstes n
u(n)= u(n-1)*(366-n)/365                Rekursivformel für
u(nMin)=1                                        Startwert für n = 1
v(n)= 1-u(n-1)*(366-n)/365           Rekursivformel für P(A)
v(nMin)=0                                        Startwert für n = 1

n erhalten Sie mit der Taste „ .

Mit y [TABLE] erhalten Sie eine Tabelle, der Sie die gewünschten Wahrscheinlichkeiten entnehmen können. Dabei stehen in der Spalte u(n) die Wahrscheinlichkeiten, dass bei n Personen alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben.
Spalte v(n) enthält die Wahrscheinlichkeiten, dass mehr als eine Person an einem Tag Geburtstag hat.
 

  


Bei 27 Personen ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als eine Person an einem Tag Geburtstag feiert 0,6269.
Ab 23 Personen ist es wahrscheinlicher, dass mehrere Personen am selben Tag Geburtstag feiern, als dass alle Personen an verschiedenen Tagen Geburtstag haben.
Zur grafischen Darstellung der Folgen stellen Sie zunächst die Bildschirmgrenzen in geeigneter Form ein und drücken dann s .
      

Zweite Lösung:
Die Berechnung erfolgt im Func-Modus.
Die Wahrscheinlichkeit für gleiche Geburtstage bei n = x Personen P(A) = 
 
kann auch mit der Produktfunktion prod (Menü LIST > MATH > 6:prod) im Funktioneneditor (Menü MODE > Func) berechnet werden:

Y1 = prod(seq((1-I/365),I,0,X-1))

Y2 = 1-Y1
Mit TABLE erhalten Sie wieder die die Wertetabelle, mit GRAPH die Funktionsgrafen:
 
 

Allerdings rechnet der TI-83/TI-83 Plus für diese Funktionen ziemlich lange, schließlich muss er ziemlich viele Multiplikationen ausführen.
 
 

Dritter Lösungsansatz mit EXCEL:

Zelle A4: 1 Zelle B4: 1 Zelle C4: 0
Zelle A5: 2 Zelle B5: = B4*(366-A5)/365 Zelle C5: = 1- B5
Kopieren Sie die Zellen A5:C5 in die darunterliegenden Zeilen und erstellen Sie eine geeignete Grafik.