Binomialverteilung (TI-92-Programm)

http://www.ammu.at – Aussendung 17 – Beitrag 1 – Dezember 2000

Wilfried Rohm, HTL Saalfelden, wrohm@aon.at

Binomialverteilung (TI-92-Programm)

Mathematische Inhalte:
Wahrscheinlichkeitsrechnung (Binomialverteilung)

Didaktische Überlegungen:
Binomialverteilung nicht nur rechnen, sondern auch graphisch veranschaulichen.

Kurzzusammenfassung:
Am Beispiel der Binomialverteilung wird gezeigt, wie man mit Hilfe eines TI-92-Programmes diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen schnell berechnen und zeichnen kann (Kommentiertes Programmlisting). Der Übergang zur Normalverteilung wird demonstriert.

Lehrplanbezug:
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Zeitaufwand:
Das Programm hilft im Unterricht Zeit einsparen, da die unangenehm zu berechnende Binomialverteilung schnell berechnet und gezeichnet werden kann.

Mediales Umfeld:
TI-92 oder TI-92-PLUS

1. Definition der Binomialverteilung als TI-92-Funktion

Es werden folgende Bezeichnungen für die Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion der Binomialverteilung verwendet:

Diese Definitionen können leicht in TI-92-Funktionen umdefiniert werden. Allerdings muß man dabei berücksichtigen, dass der TI-92 nicht zwischen Klein- und Großschreibung unterscheidet. Daher wird "ggbi(x)"für "G_bi(x)" geschrieben. Die Doppelbuchstaben bei der Parameterübergabe dienen dazu, mögliche Konflikte mit bereits verwendeten Variablen zu vermeiden.

Binomialverteilung:
ncr(nn,xx)*pp^xx*(1-pp)^(nn-xx) ®gbi(xx,nn,pp) ... g(x)
å(gbi(i,nn,pp),i,0,xx) ®ggbi(xx,nn,pp) ... G(x)
xx ... Anzahl der schlechten Stücke in der Grundgesamtheit
nn ... Stichprobenumfang
pp ... Ausschußprozentsatz (konstant) – Anteil fehlerhafter Einheiten

Aufruf der Funktionen (Beispiel):
gbi(2,50,0.08) Þ 0.143262 Das ist g(2) der Binomialverteilung mit n = 50, p = 0.08
ggbi(2,50,0.08)Þ 0.225974 Das ist G(2) der Binomialverteilung mit n= 50, p = 0.08

Ähnlich können auch andere Verteilungen (Poissonverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Normalverteilung,...) definiert und verwendet werden.

2. Programm zum Berechnen und Zeichnen einer Binomialverteilung

Das folgende Programm verwendet zur Berechnung der Binomialverteilung nicht die obigen Definitionen, sondern die Rekursionsformel für die Binomialverteilung.

Mit Hilfe der Rekursionsformel werden der Reihe nach die Werte g(x) der Binomialverteilung aus den zuvor berechnetet Wert g(x-1) berechnet. Damit wird eine größere Geschwindigkeit bei der Berechnung erzielt.

Anmerkungen zum Programm:

Mittels der Struktur Dialog...EndDlog wird das Eingabefeld erzeugt, in das der Reihe nach n, p und x über den Befehl Request als Strings eingelesen werden. Der Befehl expr(x)® x wandelt den eingegebenen String in eine numerische Variable um.

Modulofunktion

Die einzelnen Werte g(x) werden zunächst in einer Matrix (bw) gespeichert und schließlich mit Hilfe des Befehls mat„ list in einer "Liste" (bzw. einem Feld) bl abgelegt. Dieser etwas umständliche Weg ist notwendig, weil das direkte Speichern von Werten in einer Liste (meines Wissens nach) nicht möglich ist. Die Abszissenwerte werden mittels des Sequence-Befehls [Seq(i,i,0,x)®xa = Folge mit allgemeinem Ausdruck i mit i von 0 bis x = {0,1,2,..,x}]

Das Aufsummieren der Werte g(x) zu G(x) geschieht über die Anweisung f+g® f, d.h. die aufsummierten Werte G(x) werden im Programm unter dem Namen "f" gespeichert.

Schließlich wird mit dem "Line"-Befehl ein Stabdiagramm der Wahrscheinlichkeitsfunktion gezeichnet.

Das Programm wird in den Programmeditor (APPS / Program Editor / New / Variable: bi) eingegeben. Es kann aber natürlich auch hier heruntergeladen werden.

bi()
Prgm
Local g,f,x,ant,ant2,n,p,i
ClrIO
Dialog
Titel "Binomialverteilung"
Request "n = ",n
Request "p = ",p
Request " bis x " ,x
Request " Einzelwerte (j/n) " ,ant
EndDlog
expr(n)®n : expr(p)®p : expr(x)®x
newMat(x+1,1)®bw
(1-p)^n ® g
g®bw[1,1]
If ant="j" or x=0 Then
Disp "g(0)=G(0)="&format(g,"f8")
EndIf
g®f
For i,1,x
g*(n-i+1)*p/i/(1-p)®g
f+g®f
g®bw[i+1,1]
If ant="j" or i=x Then
    Disp "g("&string(i)&") = "&format(g,"f8")&" G("&
      string(i)&")= "&format(f,"f8")
    If mod(i,7)=0 Then
      Pause
    EndIf
EndIf
EndFor
Pause
Request "Graphik (j/n) ",ant2
If ant2="j" Then
Seq(i,i,0,x)®xa
mat>list(bw)®bl // Funktion mat_to_list aus Katalog holen !!
setMode("graph","function")
FnOff:Plotsoff:ClrGraph
NewPlot 1,1,xa,bl,,,,4
ZoomData
For i,0,x
    Line xa[i+1],0,xa[i+1],bl[i+1]
EndFor
EndIf
EndPrgm

3. Programmablauf

Nach der Eingabe von bi() im Home-Modus wird das Programm mit der nebenstehenden Eingabemaske gestartet
n ... Stichprobenumfang
p ... Fehleranteil in der Produktion
x ... Anzahl der fehlerhaften Stücke in einer Stichprobe des Umfangs n
"Einzelwerte" bezieht sich auf die Ausgabe einer Tabelle der g(x) und G(x)-Werte.

Tabellarische Ausgabe der Wahrscheinlich-keitsfunktion g(x) und der Verteilungsfunktion G(x). (Es erfolgt Unterbrechung nach der Ausgabe von je 8 Werten)

Wird anschließend "Ausgabe der Graphik" gewählt, so erfolgt die graphische Ausgabe eines Stabdiagrammes der Wahrscheinlichkeitsfunktion g(x)..

Mit Hilfe der F3-Taste (TRACE-Modus) können die numerischen Werte im Graphik-Modus ebenfalls abgefragt und diskutiert werden.
So läßt sich beispielsweise rechts ablesen:
g(2) = 0.14362 » 14%

4. Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Bekanntlich kann für
n ^.p ^.(1-p) > 9
die Binomialverteilung durch die Normalverteilung mit den Parametern

angenähert werden.
Nebenstehend wurde eine Binomialverteilung mit
n = 200 und p=0,08
mit Hilfe des Programms dargestellt.

Anschließend wird die Dichtefunktion der Normalverteilung
mit
wie nebenstehend dazugezeichnet.

Nach der Eingabe von bi() im Home-Modus wird das Programm mit der nebenstehenden Eingabemaske gestartet n ... Stichprobenumfang p ... Fehleranteil in der Produktion x ... Anzahl der fehlerhaften Stücke in einer Stichprobe des Umfangs n "Einzelwerte" bezieht sich auf die Ausgabe einer Tabelle der g(x) und G(x)-Werte.
Tabellarische Ausgabe der Wahrscheinlich-keitsfunktion g(x) und der Verteilungsfunktion G(x). (Es erfolgt Unterbrechung nach der Ausgabe von je 8 Werten)
Wird anschließend "Ausgabe der Graphik" gewählt, so erfolgt die graphische Ausgabe eines Stabdiagrammes der Wahrscheinlichkeitsfunktion g(x)..
Mit Hilfe der F3-Taste (TRACE-Modus) können die numerischen Werte im Graphik-Modus ebenfalls abgefragt und diskutiert werden. So läßt sich beispielsweise rechts ablesen: g(2) = 0.14362 » 14%

Bekanntlich kann für n ^.p ^.(1-p) > 9 die Binomialverteilung durch die Normalverteilung mit den Parametern angenähert werden. Nebenstehend wurde eine Binomialverteilung mit n = 200 und p=0,08 mit Hilfe des Programms dargestellt.
Anschließend wird die Dichtefunktion der Normalverteilung mit wie nebenstehend dazugezeichnet.