Darstellung von Funktionen mit dem TI-83/TI-83Plus

Friedrich Tinhof, BHAK Eisenstadt

Darstellung von Funktionen mit dem
TI-83/TI-83Plus

Mathematische Inhalte:

grafische Darstellung von Funktionen; Wachstumsfunktion

Kurzzusammenfassung:

Mit Hilfe des Solvers ist es beim TI-83 möglich auf komfortable Art berechnete Werte übersichtlich darzustellen.Der Solver dient dabei als Eingabemaske, berechnete Kurven werden am Grafikbildschirm visualisiert.

Lehrplanbezug:

alle Jahrgänge

Zeitaufwand:

ca. 1 Wochenstunde; abhängig von den Vorkenntnissen

Mediales Umfeld:

TI-83 / TI-83 Plus

Wachstum und Zerfall

Anhand eines konkreten Beispiels soll ein Einblick in die Anwendungsmöglichkeiten des TI-83/TI-83+ bei praxisnahen Aufgaben zum Thema Wachstum und Zerfall gegeben werden.
Das Zusammenspiel von Solver und Grafikbildschirm wird zur komfortablen Lösung der Aufgaben verwendet.

Cäsium 131 zerfällt mit einer Halbwertzeit von T = 9,7 Tagen.

a) Wie viel Prozent der Anfangsmenge sind nach einer Woche (7 Tage) noch vorhanden.
b) Wie viel Prozent der Anfangsmenge sind nach einem Monat (30 Tage) noch vorhanden.
c) Nach wie vielen Tagen ist nur noch 1% der Anfangsmenge vorhanden?
Die verwendete Zerfallsfunktion lautet: mit .

Wir geben zunächst die Zerfallsfunktion in etwas geänderter Form in den Formeleditor ein.
Y₁= A*e^(K*X)
A Anfangsmenge y_o
K Zerfallskonstante k
X Zeit, da t in der Grafik nicht dargestellt werden kann.

Im zweiten Schritt öffnen wir den Solver.
Drücken Sie dazu die Taste MATH und rufen Sie mit MATH; 0:Solver... (0 eingeben ) den Gleichungssolver auf.
Geben Sie folgenden Term ein: eqn:0= Y1 - Z .
Die Eingabe in den Solver entspricht der Gleichung .
Y1 ist dabei die zuvor eingegebene Zerfallsfunktion und der Wert Z entspricht y(t).

Etwas kompliziert ist der Aufruf der Funktion Y1:
Zur Eingabe von Y1 drücken Sie die Taste VARS, gehen Sie mit dem Cursor auf Y-VARS und bestätigen Sie 1:Function mit ENTER.
Es erscheint ein neuer Bildschirm mit einer Liste von Funktionen.
Wählen Sie die gewünschte Funktion (hier ist es die Funktion 1:Y1 ) und bestätigen Sie wieder mit ENTER.
Wenn Sie die Eingabe mit ENTER bestätigen, erhalten Sie im Folgebildschirm die eingegebene Gleichung und eine Liste mit allen in der Gleichung vorkommenden Variablen.
Neben jeder der Variablen steht der derzeit in dieser Variablen gespeicherte Zahlenwert.
Diese Zahlen haben mit unserer Aufgabe noch keinen Zusammenhang.

Im dritten Rechenschritt soll die Zerfallskonstante k (K) berechnet werden.
Dieser berechnete Wert für K bleibt dann für den Rest der Aufgabe unverändert!
Für den Anfangswert A wählen wir 100 (willkürlich; 100%).
Nachdem die Zeit X = 9,7 Tage vergangen ist, bleibt von dieser Anfangsmenge nur noch die Hälfte dh. Z = 50 übrig.
[y(T = X = 9,7) =100/2]
Wir geben die entsprechenden Werte in den Solver ein, setzen den Cursor hinter die zu berechnende Größe K und drücken ALPHA [SOLVE].
Wir erhalten K = -0,0714585.
Die zuletzt im Solver berechnete Größe wird durch einen Punkt vor der Variablen hervorgehoben.

Die Einstellung des Grafikbildschirmes erfolgt imm folgenden Schritt:
Xmax: mehrfaches der Halbwertzeit.
Ymax: > Anfangswert (Faustregel: 10 bis 20% größer als der Anfangswert)

In Funktionseditor tragen Sie dann noch Y₂ = Z ein.

Nach Drücken der Taste GRAPH erhalten Sie die Zerfallskurve.
Die waagrechte Gerade stellt den aktuellen Wert von Z dar.
Mit TRACE und den Cursortasten können Sie dem Verlauf der Kurven folgen.
Sie können auch den Schnittpunkt der Funktionen berechnen.

Damit ist die Vorarbeit abgeschlossen und Sie können mit der Lösung der eigentlichen Aufgabe beginnen.

Lösung a)
Drücken Sie die Taste MATH und rufen Sie mit MATH; 0:Solver...
(0 eingeben ) den Gleichungssolver auf.
Geben Sie hier für die Zeit X = 7 ein; setzen Sie den Cursor auf den Wert von Z und drücken Sie ALPHA [SOLVE].

Sie erhalten daraufhin für die verbleibende Menge nach 7 Tagen
Z = 60,64 d.h. 60,64%.
Nach Drücken der Taste GRAPH erhalten Sie die Zerfallskurve.
Die waagrechte Gerade stellt wieder den aktuellen Wert von Z dar.
Sie können mit 2nd [CALC]; 5:intersect den Schnittpunkt der Funktionen berechnen.
Die Koordinaten des Schnittpunktes stimmen natürlich mit dem Ergebnis des Solvers überein.

Lösung b)
Mit MATH; 0:Solver... (0 eingeben ) kommen Sie in die Eingabemaske des Solvers zurück.
Analog zu Teil a) geben Sie im Solver für die Zeit X = 30 ein.
Setzen Sie den Cursor auf den Wert von Z und drücken Sie ALPHA [SOLVE].
Sie erhalten daraufhin für die verbleibende Menge nach X = 30 Tagen
Z = 11,72 dh. 11,72%.
Die Grafik erhalten Sie, indem Sie wieder GRAPH drücken.

Lösung c)
Um den dritten Teil der Aufgabe zu lösen, rufen Sie mit MATH 0:Solver... (0 eingeben ) wieder den Solver auf.
Geben Sie jetzt für die verbleibende Restmenge Z = 1 dh. 1% ein.
Setzen Sie den Cursor auf den Wert von X und drücken Sie ALPHA [SOLVE].
Sie erhalten die Zeit X = 64,45 (Tage) nach der noch Z = 1 (%) des Anfangswertes vorhanden ist.
Für eine sinnvolle Grafik muss zunächst die Bildschirmeinstellung geändert werden. Das Erstellen der Grafik bleibt dem Leser überlassen.

Tipp:
Verwenden Sie bei Ihren Aufgaben den Solver als Eingabemaske und visualisieren Sie die Kurven mit Hilfe des Grafikbildschirmes.
Das Zusammenspiel von Solver und Grafik ist eine komfortable Vorgangsweise, die man auch in anderen Anwendungsbereichen (z.B. Finanzmathematik und Wahrscheinlichkeitsrechnung) verwenden kann.

Literatur:

Friedrich Tinhof; Mathematik mit dem TI-83/TI-83 Plus, Teil 1; Trauner Verlag

Schneider, Thannhausser, Girlinger, Tinhof, Mathematik für HAK Band 2; Trauner Verlag

Wir geben zunächst die Zerfallsfunktion in etwas geänderter Form in den Formeleditor ein. *Y₁= Ae^(KX)* A Anfangsmenge y_o K Zerfallskonstante k X Zeit, da t in der Grafik nicht dargestellt werden kann.
Im zweiten Schritt öffnen wir den Solver. Drücken Sie dazu die Taste MATH und rufen Sie mit MATH; 0:Solver... (0 eingeben ) den Gleichungssolver auf. Geben Sie folgenden Term ein: eqn:0= Y1 - Z . Die Eingabe in den Solver entspricht der Gleichung . Y1 ist dabei die zuvor eingegebene Zerfallsfunktion und der Wert Z entspricht y(t). Etwas kompliziert ist der Aufruf der Funktion Y1: Zur Eingabe von Y1 drücken Sie die Taste VARS, gehen Sie mit dem Cursor auf Y-VARS und bestätigen Sie 1:Function mit ENTER. Es erscheint ein neuer Bildschirm mit einer Liste von Funktionen. Wählen Sie die gewünschte Funktion (hier ist es die Funktion 1:Y1 ) und bestätigen Sie wieder mit ENTER. Wenn Sie die Eingabe mit ENTER bestätigen, erhalten Sie im Folgebildschirm die eingegebene Gleichung und eine Liste mit allen in der Gleichung vorkommenden Variablen. Neben jeder der Variablen steht der derzeit in dieser Variablen gespeicherte Zahlenwert. Diese Zahlen haben mit unserer Aufgabe noch keinen Zusammenhang.
Im dritten Rechenschritt soll die Zerfallskonstante k (K) berechnet werden. Dieser berechnete Wert für K bleibt dann für den Rest der Aufgabe unverändert! Für den Anfangswert A wählen wir 100 (willkürlich; 100%). Nachdem die Zeit X = 9,7 Tage vergangen ist, bleibt von dieser Anfangsmenge nur noch die Hälfte dh. Z = 50 übrig. [y(T = X = 9,7) =100/2] Wir geben die entsprechenden Werte in den Solver ein, setzen den Cursor hinter die zu berechnende Größe K und drücken ALPHA [SOLVE]. Wir erhalten K = -0,0714585. Die zuletzt im Solver berechnete Größe wird durch einen Punkt vor der Variablen hervorgehoben.
Die Einstellung des Grafikbildschirmes erfolgt imm folgenden Schritt: Xmax: mehrfaches der Halbwertzeit. Ymax: > Anfangswert (Faustregel: 10 bis 20% größer als der Anfangswert) In Funktionseditor tragen Sie dann noch Y₂ = Z ein.
Nach Drücken der Taste GRAPH* erhalten Sie die Zerfallskurve.* Die waagrechte Gerade stellt den aktuellen Wert von Z dar. Mit TRACE und den Cursortasten können Sie dem Verlauf der Kurven folgen. Sie können auch den Schnittpunkt der Funktionen berechnen.
Damit ist die Vorarbeit abgeschlossen und Sie können mit der Lösung der eigentlichen Aufgabe beginnen.
Lösung a) Drücken Sie die Taste MATH und rufen Sie mit MATH; 0:Solver... (0 eingeben ) den Gleichungssolver auf. Geben Sie hier für die Zeit X = 7 ein; setzen Sie den Cursor auf den Wert von Z und drücken Sie ALPHA [SOLVE]. Sie erhalten daraufhin für die verbleibende Menge nach 7 Tagen Z = 60,64 d.h. 60,64%. Nach Drücken der Taste GRAPH erhalten Sie die Zerfallskurve. Die waagrechte Gerade stellt wieder den aktuellen Wert von Z dar. Sie können mit 2nd [CALC]; 5:intersect den Schnittpunkt der Funktionen berechnen. Die Koordinaten des Schnittpunktes stimmen natürlich mit dem Ergebnis des Solvers überein.
Lösung b) Mit MATH; 0:Solver... (0 eingeben ) kommen Sie in die Eingabemaske des Solvers zurück. Analog zu Teil a) geben Sie im Solver für die Zeit X = 30 ein. Setzen Sie den Cursor auf den Wert von Z und drücken Sie ALPHA [SOLVE]. Sie erhalten daraufhin für die verbleibende Menge nach X = 30 Tagen Z = 11,72 dh. 11,72%. Die Grafik erhalten Sie, indem Sie wieder GRAPH drücken.
Lösung c) Um den dritten Teil der Aufgabe zu lösen, rufen Sie mit MATH 0:Solver... (0 eingeben ) wieder den Solver auf. Geben Sie jetzt für die verbleibende Restmenge Z = 1 dh. 1% ein. Setzen Sie den Cursor auf den Wert von X und drücken Sie ALPHA [SOLVE]. Sie erhalten die Zeit X = 64,45 (Tage) nach der noch Z = 1 (%) des Anfangswertes vorhanden ist. Für eine sinnvolle Grafik muss zunächst die Bildschirmeinstellung geändert werden. Das Erstellen der Grafik bleibt dem Leser überlassen.
Tipp: Verwenden Sie bei Ihren Aufgaben den Solver als Eingabemaske und visualisieren Sie die Kurven mit Hilfe des Grafikbildschirmes. Das Zusammenspiel von Solver und Grafik ist eine komfortable Vorgangsweise, die man auch in anderen Anwendungsbereichen (z.B. Finanzmathematik und Wahrscheinlichkeitsrechnung) verwenden kann.