Kaiser Gerald, HTBL Kapfenberg
 
Mehrfachintegrale

Mathematische Inhalt:

Integralrechnung
Anwendung:
Flächen-und Volumsberechnung, Schwerpunktsberechnung, Trägheitsmomente, ...
Kurzzusammenfassung:
Da in sehr vielen Anwendungen in der Technik Mehrfachintegrale verwendet werden, soll dem Schüler an einfachen und bekannten Aufgaben die grundlegende Technik beim Arbeiten mit Mehrfachintegralen gezeigt werden.
Lehrplanbezug:
Ergänzung zur Integralrechnung
Zeitaufwand:
4-6 Stunden
1. Inhalte des Beitrages

Doppelintegral:

Flächeninhalt eines Rechteckes

Dies lässt sich in folgender Weise schreiben.

Die Integration bei einem Doppelintegral werden in der Reihenfolge der Differentiale ausgeführt.

Inneres Integral:

Äußeres Integral:


 
 

Flächeninhalt eines Kreises:

a) Kartesische Koordinaten

Zunächst ermittelt man den Flächeninhalt eines Viertelkreises.

Das Integral kann man händisch mit geeigneter Substitution oder wie hier mit MathCad lösen.


 
 

b) Polarkoordinaten


 
 
 
 

Bei der händischen Berechnung beginnt man wiederum mit dem inneren Integral

; das äußere Integral ergibt: . Multipliziert man mit 4, so erhält man den Flächeninhalt für einen Kreis.
 
 

TI 92:

MathCad:


 
 
 
 
 
 

Dreifachintegral

In technischen Anwendungen werden oft Zylinderkoordinaten verwendet, die besonders bei Rotationssymmetrien einen Vorteil haben.
 
 


 
 

Für das Volumselement dV gilt: dV = dA.z. Setzt man für  ein, so erhält man: .

Volumen eines Zylinders

Volumen einer Kugel