Walther Stuzka, PG Neulandschule 1100 Wien

Mathematische Inhalte:

Prozentrechnung, Datstellung von Daten in Diagrammen, Winkelfunktionen,
Ellipsensektoren, Ellipsengleichung, Polarkoordinaten, Integration, Differentiation.

Statistik, Darstellung von Datenmaterial

Wie zeichnet man ein 3D-"Kreis"-Diadramm? Am besten mit Hilfe eines Computerpragramms. Doch wie sieht die Mathematik dahinter aus?
Es wird gezeigt, wie man Ellipsen-Sektorflächen bzw. Ellipsen-Sektorwinkel berechnen kann.

AHS-Lehrplan ab 6. Klasse

Tabellenkalkulation (Excel), Computeralgebra-System (Derive)

Jedes moderne Tabellenkalkulationsprogramm verfügt über eine Fülle von Funktionen zur Visualisierung von Daten mit Hilfe von Diagrammen. Mannigfaltige Diagrammtypen werden angeboten. Zur Darstellung von Anteilen an einer Gesamtheit d. h. zur Darstellung der Zusammensetzung eines Ganzen eignen sich besonders Kreis- bzw. 3D-"Kreis"-Diagramme.

Doch wie könnte die Mathematik, die zu diesen Darstellungen führt, aussehen? Ist die Berechnung des Zentriwinkelsfür einen Kreissektor, der einen gewissen Prozentanteil in einem Kreis-diagramm darstellen soll, eine einfache Angelegenheit (), so erfordert die Verwendung von 3D-"Kreis"-Diagrammen größeren mathematischen Aufwand. Genau darauf beziehen sich die folgenden Ausführungen.

Sind zwei konzentrische Kreise, ein sog. Hauptscheitelkreis mit dem Radius a und ein sog. Nebenscheitelkreis mit dem Radius b (Abb. 1) gegeben, so läßt sich die zugehörige Ellipse konstruieren, indem man (z. B.) die zum Hauptscheitelkreisdurchmesser normalen Halbsehnen im Verhältnis  verkürzt. (Die so erhaltenen Sehnenendpunkte bestimmen die Ellipse mit dem Achsenverhältnis .)

Für den Flächeninhalt dieser Ellipse folgt wegen ihrer geometrischen "Beziehung" (Affinität) zum Hauptscheitelkreis

Auch für die Sektorflächenund(Abb. 1) gilt dann:

Die Beziehung zwischen und erhält man wie folgt:

Um den "Problemen" mit negativen Tangens-Werten und den Funktionswerten aus dem Weg zu gehen, sei für die folgenden Betrachtungen auf den Bereich  d. h. auf den ersten Ellipsen-Quadranten beschränkt.

Für eine Ellipsen-Sektorflächeergibt sich:

Somit kann jedem Ellipsen-Sektorwinkel  eine Ellipsen-Sektorfläche bzw. ein Prozent-anteil an der Gesamtfläche der Ellipse (z. B. mit Hilfe eines Tabellen-Kalkulations-programms) zugeordnet werden (Tab. 1).

Die für verwendete Berechnungsformel sieht im Kalkulationsprogramm wegen der Grad-Radiant-Umwandlung (z. B.) so aus: = a*b*ARCTAN(b/a*TAN(A7*PI()/180))/2

N.b.: Da die Winkel in Radiant kalkuliert werden und dabei nur mit beschränkter Genauigkeit vorliegt, kann für ein Wert für  und somit für
ermittelt werden.

Interessanter ist die Umkehrung.
Umeiner Größe mit Hilfe eines Ellipsen-Sektors zu veranschaulichen, ist der Ellipsen-Sektorwinkel beginnend "auf 12-Uhr" d. h. beim Ellipsenpunkt (0|b) wie groß zu wählen?

Die für verwendete Berechnungsformel sieht im Kalkulationsprogramm wegen der Grad-Radiant-Umwandlung (z. B.) so aus: =ARCTAN(a/b*TAN(A5/100*2*PI()))*180/PI()

Z. B.: a = 1.00, b = 0.60

Tab. 2

Die Verallgemeinerung (Abb. 2):
Beginnend bei sollen mit Hilfe eines Ellipsen-Sektorseiner Größe dargestellt werden. Wie groß ist ?

Ein Beispiel: , , , 

, 

Die Sektorflächenberechnung kann auch durch Integration der in Polarkoordinaten gegebenen Ellipsengleichung erfolgen (Abb. 3):

Mit Derive kann man (z. B.) wie folgt arbeiten:

Die numerische Integration (z. B.) von  bis  für  und  ergibt
 
 

(für sieben überprüfte Nachkommastellen) den gleichen Wert wie die Kalkulation mit Excel.

Das unbestimmte Integral (siehe #5 und #6) stimmt, da FLOOR für  null ist, mit der zuerst entwickelten Formel für die Ellipsen-Sektorfläche  bis auf den Faktor  - er muß hinzugefügt werden, will man in Degree und nicht in Radiant einsetzen - überein.

Um das in #6 gezeigte Formelmonster etwas besser zu verstehen kann es nützlich sein

FLOOR und ATAN((z. B. für und ) zu plotten.

Die Kontrolle des Ergebnisses durch "händisches" Differenzieren (des zweiten Teils) der Stammfunktion sollte mit dem Wissen um die Kettenregel und die Beziehungen  sowie  möglich sein.

Z. B.: ... usw.

Ein "entschärfter" und didaktisch vertretbarer Weg zu obigem Integral kann experimentell geführt werden, indem man sich an die Struktur des tatsächlich zu berechnenden Integranden immer mehr herantastet - in der Hoffnung, daß ähnlich strukturierte Integranden strukturähnliche Stammfunktionen ergeben.

Z. B.:

Oops! Von wegen Strukturähnlichkeit...

substituiert man u durch a und v durch , d. h.  durch  und durch so erhält man

Durch Multiplikation von Ausdruck #20 mit  erhält man Ausdruck #6.