Markus Hörhager, HTL Jenbach
 
Erfahrungen mit der ersten Matura nach dem Schulversuch neuer Verordnung an der HTL-Jenbach
Kurzzusammenfassung: In diesem Erfahrungsbericht über die Durchführungder Matehmatikklausur an der HTL Jenbach wird die mit den Schülern erarbeitete Themenliste präsentiert und exemplarisch 4 Maturaaufgaben angegeben, allerdings nur die Problemstellungen. Die Lösungen können der AMMU Homepage entnommen werden. Bei zusätzlichen Fragen können Sie sich via email an mich wenden. Persönliche Bemerkungen zur Klausur:

Um es vorwegzunehmen, die Erfahrungen mit der Klausurarbeit aus angewandter Mathematik waren sehr positiv. Der Einsatz des Computeralgebraprogramms Mathcad und der Tabellenkalkulation Microsoft Excel ermöglichte die Behandlung interessanter Problemstellungen im Rahmen der schriftlichen Klausurarbeit und wurde auch von Schülerseite mit Begeisterung befürwortet. Die Verwendung dieser Werkzeuge mußte natürlich entsprechend im Mathematik- und/oder EDV-Unterricht erlernt bzw. erarbeitet werden.

Ein Vorteil war, die Klasse in mehreren anderen Gegenständen unterrichten zu können, wie z.B. Meß- und Regelungstechnik, Qualitätssicherung, Physik, Elektrotechnik und EDV. Dadurch konnten leicht Querverbindungen hergestellt werden.

Im Laufe der Jahre kristallisierte sich eine Themenliste heraus, die mit den Schülern, beginnend im 3. Jahrgang, erarbeitet wurde:

Bericht:

Mathematik mit technischen Anwendungen
Mögliche Themen zur schriftlichen Klausurarbeit
Erlaubte Hilfsmittel: Formelsammlung, Tabellen und Nomogramme, Computer

Aus dem Gebiet der Qualitätssicherung (alle dürfen unter Zuhilfenahme von Mathcad gelöst werden)

Aus dem Gebiet der Meßtechnik allgemein (Mathcad-Anwendungen) Aus dem Gebiet des Maschinenbaus und der Mechanik (Mathcad-Anwendungen) Aus dem Gebiet der Elektrotechnik und Regelungstechnik (Mathcad-Anwendungen) Aus dem Gebiet der Betriebswirtschaft Aus dem Gebiet der Naturwissenschaften  

Aus dem Gebiet der Mathematik

Im Folgenden möchte ich Ihnen exemplarisch ein paar Aufgaben aus den beiden 5. Jahrgängen, Abteilung Wirtschaftsingenieurwesen, präsentieren. Jeder Jahrgang erhielt dabei 3 Aufgaben, die in einer Zeit von 5 vollen Stunden mittels Computer gelöst werden mußten. Dabei wurde aber nicht das "Werkzeug" Mathcad oder Excel vorgeschrieben. Auch eine Lösung "zu Fuß" mit Bleistift und Papier ist natürlich möglich (vgl. Sie z.B. HW5b-Aufgabe 2). Im heurigen fünften Jahrgang möchte ich, da einige Schüler den TI92 besitzen, auch diesen als Alternative in die Wahl des Werkzeuges miteinbeziehen. Ich hoffe Ihnen damit einen kleinen Einblick in die Abwicklung der Mathematikmatura an der HTL-Jenbach gegeben zu haben.

 

Schriftliche Klausur aus angewandter Mathematik
HW5a-1: Regelungstechnik Betrachten Sie nebenstehenden Regelkreis mit folgender Streckenübertragungsfunktion:
 
mit  Verwenden Sie als Regler einen PI-Regler: 
Untersuchen Sie das Führungs- und Störungsverhalten des Regelkreises. Ermitteln Sie den Zeitverlauf der Regelgröße x mittels inverser Laplacetransformation. Stellen Sie deren Verlauf in 2 Zeitdiagrammen für folgende Reglerparameterkombinationen dar:
1.
2.
3.
4.
Bestimmen Sie aus den Zeitdiagrammen die Ausregelzeit (< 2% Abweichung vom Endwert beim Führungsverhalten, beim Störungsverhalten  mit Störamplitude ) und entscheiden Sie sich für den besten Regler. Welchen Nachteil hat der schnellste Regler allerdings? HW5a-2: Betriebswirtschaft, Ausgleichsrechnung, Kosten- und Gewinnfunktion Sie haben Daten (xi,Ki) aufgenommen, die die produzierten Stückzahlen (in Einheiten von 1000 Stück) und die anfallenden Kosten (in Geldeinheiten von 1000 ATS) repräsentieren. Die Daten finden Sie in der Datei KOSTEN.PRN vor (vgl. auch Tabelle) und können mit der Funktion PRNLESEN von Mathcad in eine 2 spaltige Datenmatrix eingelesen werden.
  1. Setzen Sie als Fitfunktion ein Polynom 3. Grades an und ermitteln Sie jenes Polynom, das am besten zum festgestellten Kostenverlauf paßt. Stellen Sie die Kostenfunktion K(x) mit den Meßdaten in einem Diagramm dar.
  2. Ermitteln Sie aus der unter 1 berechneten Kostenfunktion die Durchschnittskostenfunktion k(x), die Grenzkostenfunktion K'(x) und die Elastizität e(x). Stellen Sie den Verlauf dieser Funktionen in Abhängigkeit von der Stückzahl dar. Bestimmen Sie jene Stückzahl xg, für die die Elastizität 1 wird und interpretieren Sie dieses Ergebnis.
  3. Ihre Umsätze steigen annähernd nach der Funktion
    4. mit a = 1 und b = 5. Bestimmen Sie daraus die Gewinnfunktion G(x), deren Maximum und die Break-Even-Punkte.

    ð Verwenden Sie zur Durchführung dieser Aufgabe entweder Mathcad oder Excel und speichern Sie Ihre Ergebnisse in der Datei <Name>2.XLS oder <Name>2.MCD.

    HW5b-3: Betriebswirtschaft, Investitionsrechnung
Bei einer Investition haben Sie die Auswahl zwischen 3 Systemen die gleiche Einnahmen versprechen, aber unterschiedliche Anschaffungs- und Wartungskosten verursachen.
t
0
  
400000
200000
320000
1
150000
35000
90000
60000
2
170000
38000
100000
65000
3
200000
42000
110000
70000
4
180000
47000
120000
75000
 
  1. Für welche Variante entscheiden Sie sich aufgrund des Kapitalwertes bei einem Zinsfuß von p=8%?
  2. Wie groß ist der interne Zinsfuß jeder Investition? Wenn Sie aufgrund des internen Zinssatzes Ihre Entscheidung fällen müßten, für welche Investition würden Sie sich entscheiden?
  3. Zeichnen Sie den Verlauf des Kapitalwertes in Abhängigkeit vom Zinssatz p für alle Investitionen in ein Diagramm.

    4. Verwenden Sie zur Durchführung dieser Aufgabe entweder Excel oder Mathcad und speichern Sie Ihre Ergebnisse in der Datei <Name>2.XLS oder <Name>2.MCD.
  HW5b-2: Mechanik, Kinematik Eine Lokomotive mit Waggon fährt aus dem Stillstand mit konstanter Beschleunigung a an. Die Kupplung zwischen Lokomotive und Waggon kann mit einer Feder mit Federkonstanten k und einem Dämpferelement mit Dämpferkonstanten c (Dämpferkraft proportional Relativgeschwindigkeit von Lok und Waggon) beschrieben werden.
1. Bestimmen Sie Feder- und Dämpferkraft und zeigen Sie, daß die Bewegungsgleichung des Waggons durch gegeben ist. l ist dabei die Ruhelänge der Feder und  die Bewegung der Lokomotive.

2. Bestimmen Sie die homogene Lösung der linearen Differentialgleichung.
3. Zur Bestimmung der partikulären Lösung verwenden Sie am besten einen Polynomansatz.
4. Bestimmen Sie aus der allgemeinen Lösung die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen . Um welchen Wert wird die Feder gedehnt für ?
5. Zeichnen Sie mit Mathcad den zeitlichen Verlauf des Abstandes 
von Lok und Waggon für die Parameterwerte m = 20000 kg, a = 0.5 m/s2, l = 0.6 m, k = 200 kN/m und unterschiedlichen Dämpferkonstanten c = 50000, 100000, ...., 250000 Ns/m. Welche Dämpferkonstante halten Sie für die am besten passende? Für welchen c-Wert tritt der aperiodische Grenzfall auf? ð Speichern Sie Ihre Ergebnisse in der Datei <Name>1.MCD.