Wilfried Rohm , HTL Saalfelden

Überblick:

Es werden zunächst die Überlegungen geschildert, welche zur Formulierung der Aufgaben-stellungen führten. Neben den Aufgabenstellungen, den Bewertungsgrundlagen und einer kurzen Nachlese wird die Bearbeitung einer Aufgabe durch einen (sehr guten) Kandidaten vorgestellt.

1. Der Weg zur schriftlichen Reifeprüfung

Der von mir betreute Jahrgang V. Elektrotechnik hatte im Schuljahr 1997/98 12 Schüler. Ich hatte den Jahrgang erst im IV. Jahrgang übernommen. Vorher wurden sie in Mathematik von einem fachlich versierten Mathematiklehrer sozusagen in klassischer Manier ausgebildet. Der Computereinsatz im Mathematikunterricht fand dabei aber nur sehr am Rande statt.

Im IV. Jahrgang wurden von mir folgende Themenblöcke behandelt, die letztlich auch das mathematische Rüstzeug für die Reifeprüfung bildeten:

• Funktionen in 2 Variablen – Fehler- und Ausgleichsrechnung

• Potenz- und Taylorreihen

• Fourierreihen und Prinzip des Fourierintegrals

• Vektoralgebra (Wiederholung) und Matrizenrechnung

• Lineare Differentialgleichungen 1. Und 2. Ordnung

• Laplacetransformation und ihre Anwendung

• Eine Projektarbeit (pro Schüler oder auch zu zweit) mit (zwingend vorgeschriebenem) Computereinsatz statt einer Schularbeit (siehe mein Artikel "Neue Wege in der Leistungsbeurteilung?" in AMMU [7]-8)

Der Unterricht war bis auf wenige Ausnahmen (z.B. einem kurzen Exkurs in die Informationstheorie) der Vorbereitung auf die Reifeprüfung gewidmet, was bei einer Wochenstunde auch nicht anders möglich war. Das hochgesteckte Ziel war es, einen fächerübergreifenden Unterricht zu gestalten, der einerseits wesentliche Grundlagen der Elektrotechnik zusammen mit der entsprechenden Mathematik wiederholt und andererseits auch parallel zum aktuellen Fachunterricht die dahinterstehende Mathematik durchleuchtet. Ich habe versucht, dies in 30 "Beispiele" zu fassen, die aber mehr Problemstellungen als klassische Mathematikaufgaben sein sollten. Diese wurden zum Teil als Hausübungen gegeben, im Unterricht besprochen, teilweise abgesammelt und von mir verbessert. Daraus ergab sich auch eine Grundlage zur Notengebung, es wurden keine Schularbeiten durchgeführt.

Die Beispiele sollten den Schülern auch die Richtung zeigen, in welche die Fragestellung bei der Reifeprüfung erfolgen sollte. Zu erwähnen wäre noch, dass ich den Kontakt zu unseren Technikern gesucht habe und teilweise ein fächerübergreifender Unterricht dadurch erleichtert wurde. So lud ich den Grundlagenlehrer ein, einer Stunde beizuwohnen, wo wir u.a. das Induktionsgesetz und andere Grundlagenfragen aus der Sicht eines Schülers des 5.Jahrganges wiederholen wollten. Auch der Lehrer aus Steuer- und Regelungstechnik kam einmal in meinen Unterricht, als es um die Anwendung der Laplacetransformation in der Regelungstechnik ging. Rückblickend ist zu sagen, dass man derartige Kontakte noch intensivieren könnte, man allerdings immer auch auf die Gunst des Stundenplanes (Fensterstunden,...) und natürlich das Interesse der Kollegen angewiesen ist. Empfehlenswert ist es vor allem, jene Fachbücher, welche die Schüler im Unterricht verwenden, auf brauchbares Material hin zu durchsuchen. (Beispiele: Grundlagenbücher, Bücher der Elektronik / Nachrichtentechnik / Regelungstechnik)

2. Zur Auswahl der Aufgaben für die schriftliche Reifeprüfung

Die Klausurarbeit wurde im CAD-Raum durchgeführt, wo genügend Arbeitsplätze und auch viel Platz für die Schüler vorhanden war. Wir installierten extra ein eigenes Netz, in dem jeder Schüler nur eingeschränkte Rechte hatte, sodaß ein Schwindeln nicht möglich war. Trotzdem arbeitete ich 2 Gruppen zu je 3 Beispielen (Gruppe A und B) aus. Jeder Schüler hatte die freie Wahl, 2 Beispiele zur Bearbeitung auszuwählen. (Von den 12 Schülern hatten 11 den Freigegenstand Qualitätssicherung besucht, sodaß ich bei einer Gruppe auch zu diesem Thema eine Frage stellen konnte)

Bei der Auswahl der Beispiele habe ich mich von einigen grundsätzlichen Erwägungen leiten lassen: Um den verschiedenen "Typen" von Schülern etwas entgegenzukommen, waren die Beispiele prinzipiell etwas unterschiedlich angelegt, auch wenn sie im Schwierigkeitsgrad - zumindest meiner Ansicht nach - etwa gleich waren! Auch im nachhinein betrachtet war ich mit diesen Überlegungen zufrieden, es wurde jedes Beispiel zumindest von 2 Schülern gewählt.
 

1. Beispiel: Kombiniertes Rechen- und Theoriebeispiel - das heißt, der Schüler soll damit zeigen, dass er die grundlegende, für die Fachrichtung wesentliche Theorie versteht UND anwenden kann.  2.Beispiel: Angewandtes "Rechenbeispiel" aus der Elektrotechnik, allerdings mit wesentlichen "Interpretationselementen".  3.Beispiel: Ein Beispiel aus der angewandten Mathematik, das insofern "mathematischer" ist, als es nicht auf die spezielle Fachrichtung zugeschnitten ist, sondern mehr oder weniger unabhängig von der Fachrichtung ist. Auch hier wird auf allgemeine Erklärungen bzw. Formulierungen Wert gelegt.

Der größte Unterschied meiner Fragestellungen zu herkömmlichen Rechenaufgaben liegt wohl darin, dass der Kandidat in allen Aufgaben nicht nur etwas "herunterrechnen" mußte, sondern gezwungen war, durch eigenständige Formulierungen sein Verständnis der mathematischen und fachtheoretischen Zusammenhänge zu bestätigen (verbale Komponente). Wenn es nach mir gegangen wäre, hätte ich so manche Aufgabe noch etwas "freier" gestellt, doch zeigte sich in der Vorbereitungsphase, dass diese Anforderungen den Schülern so kurzfristig nicht zuzumuten waren (von wenigen Ausnahmen abgesehen).

Meine ursprüngliche Idee war es ja, zumindest eine Fragestellung als eine Art Aufsatz mit mathematisch-technischen Inhalt zu geben.

Das folgende Beispiel zeigt, wie ich mir das vorgestellt hatte. Dieses Beispiel wurde übrigens als eines der 30 Übungsbeispiele den Schülern während des Jahres als Hausübung gestellt (und im Unterricht besprochen).
 

Transformationen und ihre Anwendung in der Elektrotechnik:  Þ Erläutern Sie den Begriff und den Sinn von jenen Transformationen (allgemein), welche in der angewandten Mathematik Verwendung finden.  Þ Erklären Sie das Grundprinzip der Ihnen bekannten Transformationen, die in der Elektrotechnik Verwendung finden und demonstrieren Sie ihre Anwendung an je einem instruktiven Beispiel (auch mit Rechnereinsatz)  Stichworte: Symbolische Methode in der Wechselstromtechnik,  Laplacetransformation, Fouriertransformation

 
Ich bin nach wie vor der Meinung, dass eine derartige Fragestellung Sinn gibt. Aber fairer Weise müssen die Schüler natürlich schon viel früher darauf vorbereitet werden.

3. Die Fragestellungen aus "Angewandte Mathematik und Fachtheorie":

GRUPPE A: Wählen Sie 2 aus den folgenden 3 Aufgabenstellungen

I) Fourierreihen

1. Erklären Sie ausgehend von physikalischen Überlegungen die grundsätzlichen Ideen, wie man zur Formel der (reellen) Fourierreihe gelangt.
2. Nennen Sie zwei Beispiele für die Anwendung dieser Fourierreihen im Bereich der Elektrotechnik und erklären Sie diese.
3. Demonstrieren Sie die Berechnung einer Fourierreihe und deren Amplitudenspektrum am Beispiel einer Phasenanschnittsteuerung (mit Hilfe eines TRIACs)

4. Ist die Funktionsgleichung unbekannt, muß über Abtastwerte die Fourierreihe numerisch berechnet werden. Was ist dabei zu beachten? Berechnen Sie auf diese     Weise die Fourierreihe zu den Abtastwerten des Magnetisierungsstromes eines Trafos, die dem Schirmbild eines Oszilloskopes entnommen wurden (siehe File A_BSP1.MCD). Erklären Sie die verwendeten Formeln.

1. Bestimmen Sie den Amplitudengang und Phasengang der komplexen Übertragungsfunktion () und stellen Sie ihn in einem Bodediagramm dar. Berechnen Sie die Grenzfrequenz, untersuchen Sie den Einfluß des Widerstandes R und interpretieren Sie das Ergebnis.
2. Interpretieren Sie das Bodediagramm weiters hinsichtlich Resonanz bzw. Resonanzüberhöhung bei Widerstandswerten zwischen 0 W und 50 W.
3. Untersuchen Sie die Sprungantwort des oben gezeichneten Schwing-kreises auf eine Gleichspannung mit Amplitude 1 Volt und R= 20 W, L=1mH, C=1mF (mit Schaubild). Berechnen Sie ferner jenen Widerstand R, der (bei gleichbleibenden anderen Werten) zum aperiodischen Grenzfall führt (+Darstellung) und erläutern Sie die Bedeutung des aperiodischen Grenzfalles.

1. Erklären Sie die Begriffe "Ausgleichsfunktion" und "Interpolationsfunktionen", schildern Sie die unterschiedlichen Möglichkeiten, die man bei der Bestimmung derartiger Funktionen hat. Nennen Sie typische Anwendungsbeispiele.
2. Eine Glühlampe stellt einen nichtlinearen Widerstand dar. Die Spannung-Strom-Kennlinie U=f(I) verläuft daher nicht geradlinig, läßt sich aber annähernd durch eine kubische Funktion vom Typ

U = f(I) = a×I³ + b×I
beschreiben.

Die Unbekannten a und b sollen aus der folgenden Meßreihe nach dem Prinzip der kleinsten Quadrate ermittelt werden. Dabei soll der exakte Rechengang samt entsprechender Kommentierung dargestellt werden. Stellen Sie das Ergebnis grafisch dar.
 

Messwerte:

I (in A) U (in V) 0,2 51 0,3 101 0,4 174 0,5 288 0,6 446

3. Legen Sie (ebenfalls mit nachvollziehbarem Rechengang) durch die folgenden Punkte eine Polynomfunktion maximalen Grades und vergleichen Sie das Ergebnis mit anderen Interpolationsmöglichkeiten.

X Y 10 100 20 80 30 90 40 120 50 100

 

Gruppe B: Wählen Sie 2 aus den folgenden 3 Aufgabenstellungen

I) Laplace-Transformation und ihre Anwendung in der Elektrotechnik

Das Verhalten (ua(t) und iL(t)) eines Vierpol (siehe Skizze) soll untersucht werden. Am Eingang liege ein Rechtecksimpuls gemäß Skizze an.

1. Erläutern Sie ausgehend von diesem Beispiel die Vorteile der Anwendung der Laplace-Transformation in der Elektrotechnik.
2. Leiten Sie die wesentlichsten Elemente der Laplace-Transformation her, die Sie für dieses Beispiel benötigen.
3. Lösen Sie das Beispiel für R = 50W, L = 1mH und U0 = 10 Volt.
4. Erklären Sie die unter 3. erhaltene Lösung aus elektrotechnischer Sicht.

II) Wien-Schaltung

In der Meßtechnik und in Schaltungen zur Schwingungserzeugung findet sich die unten angegebene RC-Kombination nach Wien (Wien-Glied). Mit dieser Schaltung lassen sich Phasenverschiebungen zwischen der Eingangs- und Ausgangsspannung herstellen.
1. Stellen Sie Amplitudengang und Phasengang der komplexen Übertragungsfunktion () in einem BODE-Diagramm dar.
   Vergleichen Sie das Bodediagramm mit der Ortskurve der Übertragungsfunktion und interpretieren Sie das Ergebnis.
   (wählen Sie R=15,9 kW ; C=10 nF ; Frequenzbereich 10 – 10⁵ Hz)
2. Bei welcher Frequenz f₀ wird das Spannungsverhältnis  reell, d.h. keine Phasenverschiebung zwischen U_a und U_e ?
   Bei welcher Frequenz ist die Phasenverschiebung genau 45⁰ ?
   Zeichnen Sie die Werte in den entsprechenden Kurven / Funktionen ein (siehe Punkt 1)
3. Zeigen Sie, daß f₀ auch jene Frequenz ist, bei der der Amplitudengang maximal ist.
   Wie groß ist das Maximum ?
4. Lösen Sie das Beispiel durch symbolische Rechnung !
   (Berechnung von f₀ und Berechnung des Maximums des Amplitudenganges)
   – Erklären sie, wie man aus dem Ergebnis schließen kann, wie sich das Bodediagramm bei einer Veränderung der Werte von R oder C verändert.

III) Statistische Tests / Qualitätsregelkarten

Bei einem galvanischen Prozeß werden Kontaktstifte vergoldet. Wesentliches Qualitätsmerkmal ist die Schichtdicke, die daher zukünftig mittels einer geeigneten ` Regelkarte überwacht werden soll. Dazu wurden nach optimaler Einstellung des Prozesses aus technologischer Sicht zunächst 125 Meßwerte ermittelt (Daten abrufbar unter B_Bsp3.MCD).
1. Bestätigen Sie optisch (Klasseneinteilung und Vergleich mit der Dichtefunktion) und mittels
   eines entsprechenden statistischen Tests, daß für diese Daten Normalverteilung angenommen werden kann.
2. Mit einer entsprechenden Regelkarte soll überprüft werden, ob die aus diesem Vorlauf ermittelten Schätzwerte
    für m und s stabil bleiben oder ob es Veränderungen im Lauf der Zeit gibt. Legen Sie diese Regelkarte (zunächst !)
    für einen Stichprobenumfang n=5 an und ermitteln Sie die Operationscharakteristiken dieser Karten in
    Abhängigkeit von Verschiebungen der Lage bzw. Veränderung der Prozeßstreuung.
    Demonstrieren Sie dabei die Abhängigkeit der jeweiligen Eingriffswahrscheinlichkeit vom Stichprobenumfang n.
3. Erklären Sie dieses Verhalten am Beispiel der Mittelwertkarte an Hand der verwendeten Formeln für
    Eingriffsgrenzen und Eingriffswahrscheinlichkeit.

• Neben der sachlichen Richtigkeit ist auf eine ansprechende und verständliche Vorgangsweise bei den Berechnungen zu achten. Insbesondere sollen die Rechen- und Gedankengänge nachvollziehbar dargelegt werden. Wo sinnvoll, können entsprechende Kommentare den Rechengang erklären.

• Bei Verwendung von Mathematikprogrammen ist darauf zu achten, dass die Lösungswege möglichst allgemein (d.h. unabhängig von den speziellen Zahlenwerten) dargelegt werden und Parametrisierungen am Anfang oder am Schluß (vor den jeweiligen Zeichnungen) erfolgen.

• Papierblätter sollen durchnumeriert werden, damit ein Querverweis zwischen am Computer erfolgten Arbeitsgängen und Überlegungen bzw. Ausführungen auf Papier (z.b. Skizzen, Theoretische Überlegungen) eindeutig möglich ist.

• Mathematik-Formelsammlungen
• Technische Formelsammlungen und Tabellenbücher (z.B. Friedrich)
• Programmbeschreibungen und Handbücher zu Mathcad und Derive
• Zusammenfassung Q-II
• Formeln und Tabellen aus der Zusammenfassung "Laplace-Transformation"

• Schulmitschriften
• Lehrbücher mit durchgerechneten Beispielen
• Mitgebrachte Computerausdrucke / Programme

4. Beurteilung und Ergebnisse:

Punkteverteilung:
 

Notenschlüssel und Ergebnisse
 

• Die Interpretationsteile ("Erklären Sie ...", "Interpretieren Sie ...") bzw. "frei" zu beantwortenden Fragen ("Nennen Sie ein Beispiel ...") nehmen punktemäßig einen relativ hohen Stellenwert ein. Hier waren die deutlichsten Unterschiede zwischen den Kandidaten erkennbar.

• "Rechenfehler" im klassischen Sinn kamen so gut wie nicht vor. (Der Computer macht keine!)

• Fachtheoretische Fragen und Interpretationen habe ich in Zusammenarbeit mit einem Techniker (in diesem Fall mit unserem Abteilungsvorstand) bewertet.

• Es gab Zusatzpunkte für besonders gute Ideen bzw. Antworten, die über das geforderte Ausmaß hinausgingen und eigenständige Denkansätze enthielten.

• Es war kein Schüler gezwungen, ausschließlich in Mathcad (am Computer) zu arbeiten, auch Berechnungen und Erklärungen auf Papier waren selbstverständlich zugelassen. Nicht alle Schüler machten davon Gebrauch; die Mehrzahl der Schüler führte aber allgemeine Überlegungen und Herleitungen (mit Skizzen) auf Papier durch.

Einige Beispiele dazu:
 

5. Nachlese und Reaktionen

Eigentlich hatte ich damit gerechnet, dass (auf Grund meiner Beobachtungen vor der schriftlichen Klausurarbeit) alle Schüler positiv sein sollten.1 Speziell seit Beginn des zweiten Semesters war ich mit der Mitarbeit der Schüler recht zufrieden gewesen. Auch die sogenannten schwächeren Schüler hatten sich im Umgang mit MATHCAD genügend Routine angeeignet, man kann sogar sagen, dass die Programmbeherrschung bei der Reifeprüfung meine Erwartungen sogar übertraf.

Nicht ganz so zufrieden war ich mit den Kommentaren, Interpretationen und allgemeinen Herleitungen. Wie zu erwarten, hatten damit insbesondere schwächere Schüler Probleme, die sich bereits in der Vorbereitungszeit in (leichten) Unmutsäußerungen gezeigt hatten. Einige Male hatten wir daher im Unterricht über die Zielrichtung und die Sinnhaftigkeit dieser Form der Reifeprüfung diskutiert. Dazu kam, dass in dieser Klasse (obwohl so klein) sehr unterschiedliche Typen von Schülern waren – manche mit ausgeprägtem theoretischen Interesse, einige (wenige) mit der Haltung des sogenannten Praktikers: "Z´was brauch´ ma des?"

Im nachhinein betrachtet kann man sagen, dass alle Schüler mit einem gewissen Stolz ihre Leistung sahen. In verschiedenen Gesprächen wurden mir gegenüber folgende Punkte mehrfach genannt:

• Gute Vorbereitung auf ein eventuelles Studium

• Durch die enge Verknüpfung zur Fachtheorie wurde den Schülern insbesondere im Grundlagenbereich einiges verständlicher, sodass auch die sogenannten Praktiker letztendlich einen Gewinn im Unterricht bzw. der neuen Reifeprüfung sahen.

• Die Sinnhaftigkeit von Fragestellungen im Hinblick auf Interpretationen/Erklärungen bzw. Verbindung zur Fachtheorie wurde allgemein anerkannt, sogenannte "mathematisch-theoretische" Fragestellungen (Herleitungen) fanden nur geteilte Zustimmung.

• Vielleicht nicht ganz uninteressant ist die Meinung mehrerer Schüler, die meinten, dass sie die Verbindung von "klassischer Mathematik" (darunter verstanden sie die Ausbildung in den ersten drei Jahrgängen bei meinem Kollegen) mit der späteren computerorientierten Ausbildung (im 4. und 5.Jahrgang bei mir) sehr positiv sahen. Sie seien froh, beides im ausreichendem Maße "genossen" zu haben.

Auf den folgenden 5 Seiten wird (unverändert!) die Bearbeitung einer Aufgabe durch einen (sehr guten) Kandidaten vorgestellt. Es handelt sich dabei um die II. Aufgabe der Gruppe A (RLC – Tiefpass). Der Schüler hat (meiner Ansicht nach) die Aufgabenstellung (von einigen Kleinigkeiten abgesehen) hervorragend gelöst, dabei fächerübergreifend (Mathematik – Grundlagen der Elektrotechnik) argumentiert und die Grafiken gut interpretiert.

Weggelassen habe ich hier nur einen kleinen (handschriftlichen) Ausflug des Kandidaten in die Regelungstechnik (Polstellen-Nullstellen-Diagramm) UND kleinere Herleitungen auf Papier.

II) RLC-Tiefpaß:

Angaben:

   Einheiten in W, H, F

1) Bodediagramm:

Berechnung der Übertragungsfunktion F auf Zettel!

• Berechnung in Abhängigkeit von f und R, um später die Abhängigkeit von R leicht darstellen zu können

vereinfacht auf

Zur Darstellung im Bodediagramm wird 20*log|F(f)| für den Amplitudengang und arg(F(f)) für den Phasengang berechnet. Die Darstellung erfolgt über einen logarithmischen Auftrag von f auf der x-Achse.

 

Laut Definition wird die Grenzfrequenz dann erreicht, wenn die Amplitude auf 1/sqrt(2) (® -3dB) abgesunken ist:

 

Startwert:  (aus Bodediagramm geschätzt)

 

=> Grenzfrequenz mit dem numerischen Lösungsblock given-find berechnet

Zur logarithmischen Darstellung der Frequenz wird die Hilfsvariable x eingeführt:
 

AMPLITUDENGANG: (für die dicke Linie gilt: -20dB pro Dek. bzw. -40dB pro Dek.)

PHASENGANG:

 

Interpretation:

Da dies ein TP 2.Ordnung ist, gibt es 2 Knickfrequenzen. Dadurch gibt es einen Bereich (nach der 1. Knickfrequenz), indem der Amplitudengang mit 20dB pro Dekade fällt, und einen Bereich (nach der 2. Knickfrequenz) wo der Amplitudengang mit 40 dB pro Dekade fällt.

In aperiodischen Fällen kann man diese 2 Frequenzen im Bodediagramm leicht erkennen. - Mit einer Variation von R lässt sich die Dämpfung und damit auch die Position der beiden Knickfrequenzen bestimmen.

Die beiden Knickfrequenzen sind die reellen Polstellen der Übertragungsfunktion (Nullstellenberechnung im Nenner der ÜF).

Treten komplexe Polstellen auf, macht sich dies im Bodediagramm durch eine Resonanzüberhöhung in der ÜF bemerkbar.

Dazwischen liegt die reelle Doppellösung, wo die 2 Knickfrequenzen soweit zusammengerückt sind, dass sie sich überlagern. Man kann nun den Bereich der

-20dB pro Dekade nicht mehr erkennen.

Man kann dies auch bei der Berechnung der Resonanz und bei der Sprungantwort

erkennen, aber mehr dazu in Punkt 2) und 3).

Grundsätzlich kann man sagen, daß der Widerstand die Dämpfung der Übertragungsfunktion beeinflusst.
2) Resonanz:

Resonanz entsteht dann, wenn es ein Maximum in der ÜF gibt. (nur dann, wenn die Polstelle 2 komplexe Polstellen sind. (braune Spur: Grenzfall, Berechnung unten!)  

es gibt ein Maximum, wenn die 1. Ableitung

des Betrags der ÜF Null wird.

hat als Lösung(en) 

Händisch vereinfachen: (siehe Zettel)

die Resonanzfrequenz entspricht der natürlichen Frequenz multipliziert mit einem Faktor.

natürliche Frequenz: siehe Punkt 3)

Man kann nun ausrechnen, ab welchem Widerstandswert eine Resonanzüberhöhung auftritt, und zwar dann, wenn die Diskriminante Null wird. Bei einem komplexen Ergebnis tritt keine Resonanz auf.

hat als Lösung(en) 

händisch verschönert: 

R_resGr = 44.721

=> Eintragen des Amplitudenganges mit RresGr im obigen Bodediagramm
 

Berechnung der Amplitude der ÜF bei R=0 und f=fres:

 da der Ausdruck unter der Wurzel wegfällt!

Bei diesem Spezialfall gibt es keine (!) Dämpfung (logisch, da R=0) und deshalb tritt eine Singularität auf. MATHCAD zeigt hier leider nur einen sehr hohen Wert an.

3) Sprungantwort:

Angaben:    

Berechnung mit LAPLACE:
der transformierte Einheitssprung

die bereits transformierte Übertragungsfunktion

die Lösung im Bildbereich ist einfach die Multiplikation von F(s) mit ue(s) und muss nur noch vereinfacht werden.

erweitert auf

danach erfolgt die Rücktransformation in den Zeitbereich mit der inversen LAPLACE-Transf.

 
hat inverse Laplace-Transformation

 

Berechnung des aperiodischen Grenzfalles:
aperiodischer Grenzfall dann, wenn die Polstelle eine reelle Doppellösung aufweist. (denn das ist der Übergang von 2 komplexen zu 2 reellen Lösungen)

Dies ist der Übergang von einer schwingenden Sprungantwort zu einer aperiodischen Sprungantwort (siehe charakteristische Gleichung bei der Lösung einer Diff.-Gl. 2. Ord., wo sobald in der e-Potenz ein j vorkommt diese e-Potenz in eine sin- und eine cos-Schwingung zerlegbar ist) weitere Überlegungen auf Zettel !

 
Berechnung des Raper:
hat als Lösung(en) 

=> dies sind die 2 Polstellen !

Berechnen der Doppelpolstelle durch Null-setzen der Diskriminante:
 
hat als Lösung(en) 

D wird Dämpfungsgrad genannt.

Beim aperiodischen Grenzfall fallen die 2 Polstellen zusammen, und die 2 Knickfrequenzen im Bodediagramm von 1) fallen zusammen.

Achtung: der aperiodische Grenzfall ist nicht der Fall, bei dem eine Resonanzüber-höhung auftritt (die Diskriminante und das Ergebnis unterscheiden sich nur um den Faktor sqrt(2))

Dies ist logisch, da eine Resonanzüberhöhung auch erst bei D=1/sqrt(2) auftritt.

aperiodischer Grenzfall:

  Resonanzüberhöhung: