Wilfried Rohm, HTL Saalfelden

Integraltransformationen

Mathematische Inhalte:

Laplace- und Fouriertransformationen

 Anwendung:

Anwendungen der Laplace- und Fouriertransformationen (vorallem im Bereich der Elektrotechnik / Nachrichtentechnik)

Kurzzusammenfassung:

Das im Mathematiklehrplan neue Thema Integraltransformationen wird übersichts-weise in einem Ausmaß behandelt, wie es für elektrotechnische bzw. nachrichtentechnische Abteilungen möglich erscheint. Die Beispiele beziehen sich vorwiegend auf die für diese Abteilungen besonders wichtige Laplacetransformation. Ein kommentiertes Literaturverzeichnis verweist auf weiterführende Literatur.

Lehrplanbezug:

Neuer Lehrplan; Variante A (mehr als 15 Wochenstunden); IV.Jahrgang: Integral-transformationen

Zeitaufwand:

Siehe Kapitel 2 dieses Artikels.

Mediales Umfeld:

Für die Beispiele wurde MATHCAD Version 6.0 verwendet. So wie MATHCAD bietet aber zum Beispiel auch MATHEMATICA Befehle für Laplace-, Fourier- und Z-Transformation an.

Dateien zum Herunterladen: RO_FFT.MCD, RO_B6.MCD, RO_B7.MCD, RO_B8.MCD, RO_B9.MCD.

Kapitelübersicht:

 1. Einführung S. 1 – 2

2. Vorschlag zum Einbau der Laplacetransformation in den Unterricht S. 3

3. Von der Fourierreihe zur Fouriertransformation S. 4 – 7

4. Rechenregeln zur Laplace-Transformation S. 8

5. Anwendungen der Laplace-Transformation S. 9 – 10

6. Beispiele für elementare Laplace-Transformierte (B1 – B5) S. 11

7. Beispiele zum Lösen von Differentialgleichungen (B6 / B7) S. 12 –13

8. Beispiele aus der Elektrotechnik (B8 / B9) S. 14 – 17

9. Literaturverzeichnis S. 17 - 18

1. Einführung

Es ist nicht möglich, hier eine umfassende Darstellung dieses theoretisch recht anspruchsvollen Themas zu geben. Diesbezüglich sei auf das umfangreiche Literaturverzeichnis verwiesen. Auf den folgenden Seiten sind jedoch neben einer Übersicht in der Art eines Stundenbildes einige Seiten wiedergegeben, die ich (in ähnlicher Form) in kopierter Form als Unterlage ("Formelsammlung") für meine Schüler im Unterricht verwendet habe. Ferner werden einige typische Beispiele mit und ohne Softwareunterstützung vorgestellt.

Im neuen Lehrplan steht in der Variante A (mehr als 15 Wochenstunden) zum Thema Analysis im 4.Jahrgang ganz bewußt nur sehr allgemein der Begriff "Integraltransformationen". In der Praxis der Elektrotechnik kommen besonders häufig 3 Arten von Integraltransformationen vor:

Transformationen werden in der Mathematik ganz allgemein dazu verwendet, mathematische Operationen zu vereinfachen. Beispielsweise kann man mit Hilfe der Relation

ln(a×b) = ln(a) + ln(b)

die Multiplikation auf die Addition zurückführen. Diese Anfang des 17.Jahrhunderts entdeckte Logarithmenrechnung war eine enorme Erleichterung für Kepler (1571-1630) bei der Bewältigung seiner außerordentlich umfangreichen Berechnungen zur Erstellung der Planetentafeln. Und bis Ende der 70iger Jahre stellte diese logarithmische Transformation auch einen unverzichtbaren Teil der Mathematikausbildung in der Schule dar.

Integraltransformationen reduzieren Differentiationen zu Multiplikationen.

Differentialgleichungen werden zu algebraischen Gleichungen.

Die wichtigste Integraltransformation ist (aus einer generellen Sicht gesehen) die auf Fourier (1768-1830) zurückgehende Fouriertransformation. Mathematisch stellt sie das wichtigste analytische Instrument für die moderne Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen dar. Ferner ist sie die Basis für Spektralanalysen, die in allen Bereichen der Technik und Wissenschaft eine fundamentale Bedeutung haben. Die physikalische Idee der Fouriertransformation besteht darin, daß man elektromagnetische Wellen (z.B. Licht oder Radiowellen aus dem Weltraum) in einzelne Frequenzbestandteile zerlegt und deren Intensität untersucht. Damit erhalten Astronomen Aufschlüsse über den Aufbau von Sternen und Galaxien. Weitere Anwendungsbeispiele: Bildverarbeitung (Satellitenbilder, Ultraschallbilder), Berechnungen im Zusammenhang mit Gezeiten und Erdbeben, spektroskopische Untersuchungen in allen Wissenschaftsbereichen, usw. 

Die Laplacetransformation ist ein wichtiger Spezialfall der Fouriertransformation und wird besonders in der Regelungstechnik ständig verwendet, um das Verhalten von Schaltungen bei verschiedenen Eingangssignalen zu untersuchen. Mathematisch gesehen werden Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme auf einfachere Art gelöst.

Die Z-Transformation kann man als diskrete Version der Laplacetransformation auffassen. Sie wird benutzt, um Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten zu lösen und wird in diesem Sinne zum Beispiel zur Berechnung digitaler Filter verwendet.

Nicht unerwähnt soll bleiben, daß dem Schüler elektrotechnischer Abteilungen Transformationen im 4.Jahrgang schon längst vertraut sind: Die sogenannte "Symbolische Methode in der Wechselstromtechnik" ist nichts anderes als eine Transformation vom Zeitbereich in die komplexe Ebene. Die Vereinfachung liegt dabei in der Tatsache, daß das aus der Gleichstromtechnik her bekannte "Ohm´sche Gesetz" im komplexen Bildbereich "gültig" ist und daß Differentialgleichungen vermieden werden.

Es ist unbedingt eine Absprache mit den jeweiligen Fachlehrern erforderlich, welche Transformationen in welchem Ausmaß im Fachunterricht benötigt werden! Meist wird es ausschließlich oder vor allem die Laplacetransformation sein, aber auch andere Transformationen gewinnen (natürlich unterstützt durch die verschiedenen Softwarepakete) im HTL-Unterricht zunehmend an Bedeutung.

2. Vorschlag zum Einbau der LAPLACE-Transformation in den Mathematikunterricht (4.Jg)

Voraussetzungen : Unmittelbar zuvor werden die Differentialgleichungen im klassischen Sinn besprochen (Dgl. 1.Ordnung , 2.Ordnung, Schwingungsgleichung). Von der mathematischen Seite her hilfreich (jedoch nicht unbedingt erforderlich) ist es, wenn im Anschluß an die Besprechung der Fourierreihen der Begriff bzw. die Formel der Fourier-Integraltransformation aufgetaucht ist (siehe Abschnitt 3 dieses Artikels)

 

 

Ab-

schnitt

Stoffbeschreibung

ungefähre

Stundenzahl

 

1

EINFÜHRUNG: Allgemeines Prinzip mathematischer Transformationen; Beispiele. Begründung der Integral-formel für die Laplace-Transfomation (wenn möglich im Zusammenhang mit der Formel für die Fouriertransformation)

 

1

 

2

 

Transformation elementarer Funktionen – Rechenregeln
Beispiele : Sprungfunktion s (t), Rampe , e-Funktion,
sin(w t), zeitverschobene Funktionen, Impulse
Differentiation und Integration ; Dirac – Impuls

 ® siehe auch Beispiele B1-B5 im Abschnitt 6 dieses Artikels 

 

3-4

 

3

 

Beispiele zur Rücktransformation – Korrespondenztabelle
Einfache Beispiele ; Wiederholung bzw. Kennenlernen der Partialbruchzerlegung ; Rechnerunterstützung.

 

2

 

4

 

Lösen von Differentialgleichungen 1. und 2.Ordnung
Beispiele zu Differentialgleichungen 1. und 2.Ordnung,
bevorzugt solche, die schon früher berechnet wurden. 

® siehe auch Beispiele B6, B7 im Abschnitt 6 dieses Artikels 

 

2

 

5

 

Anwendungen in der Elektrotechnik (Netzwerke,...)
Beispiele zur symbolischen Methode(Tiefpaß, Hochpaß, Bandpaß);
Begriff Übertragungsfunktion

® siehe auch Beispiele B8, B9 und z.B. HAAGER, 1996. 

 

3-4
  SUMME

11-13 Stunden

 

Mögliche Ergänzung : Eventuell kann in Absprache mit dem jeweiligen Techniker nach der Besprechung der Laplacetransformation auch die Anwendung der Fouriertransformation und/oder der Z-Transformation in der Elektrotechnik besprochen werden. Der prinzipielle Vorgang ist ähnlich, es können auch entsprechende Korrespondenztabellen verwendet werden (® s. Literaturverzeichnis). Softwareunterstützt sind auch einige umfangreichere Schaltungen relativ leicht zu untersuchen. (siehe z.B. HÖRHAGER/ PARTOLL, 1995)

 

3. Von der Fourierreihe zur Fouriertransfomration

 

 

Komplexe Darstellung:

 

Neben der reellen gibt es noch die komplexe Darstellung eines periodischen Vorganges. Diese Darstellung ist sowohl für reelle als auch komplexe Zeitfunktionen möglich.

Aus den Euler´schen Formeln

und setzen der folgenden Beziehungen

c0 = a0

[ an= cn + c-n ] [ bn= j× (cn - c-n) ]

 

erhält man schließlich die komplexe Fourierreihe (im Amplitudenspektrum eine Darstellung nach "positiven" und "negativen" Frequenzen)

 Fourier-Integral:

Beim Übergang zum Fourier-Integral wird die Forderung nach einer periodischen Funktion fallengelassen. Besser gesagt: Eine nicht periodische Funktion (beispielsweise einen einzelnen Impuls) leitet man aus einer periodischen Funktion her, indem man die Periode immer größer werden läßt.

Eine Vergrößerung der Periodenlänge T0 ist gleich-bedeutend mit einer Verkleinerung der Frequenz von f0 bzw. w 0 Þ im Amplitudenspektrum des periodischen Vorganges rücken die einzelnen Spektrallinien immer näher zusammen. Durch den Grenzübergang

entsteht schließlich ein kontinuierliches Spektrum. (Amplitudendichtespektrum)

 Die unendlichen Summen der komplexen Fourierreihe gehen durch den Grenzübergang in das Fourier-Integral über; es gilt folgender Formelsatz:

 Beispiel: Fouriertransformation eines Rechteckimpulses :

 

 

 

Zusammenhang zwischen Fouriertransformation und Laplacetransformation:
Die Konvergenzbedingung für das Fourier-Integral lautet :
Diese Bedingung ist aber leider bereits für einfache und praktisch wichtige Zeitfunktionen (wie z.B. die Sprungfunktion) nicht erfüllt !

Wenn man jedoch die Zeitfunktionen für t<0 identisch 0 setzt und mit (mit d >0) multipliziert, geht die Fouriertransformation in die Laplacetransformation über und viele derartige Integrale existieren. Dies ist der Grund, weshalb insbesondere bei Ausgleichsvorgängen (Einschaltvorgängen) die Laplacetransformation bevorzugt wird.

Typische Anwendungen:

 Laplace-Transformation (ausführlich im Abschnitt 5 dieses Artikels)

ET : Es interessiert das Verhalten eines Systems bei Einschaltvorgängen (Ausgleichsvorgänge ® Regelungstechnik);

allgemein: Lösen von linearen Differentialgleichungen und Differentialgleichungssystemen: Die Differentialgleichung wird mittels Transformation in eine algebraische Gleichung umgewandelt ; eine physikalische Interpretation der Transformation (wie bei der Fouriertransformation) ist aber nicht möglich.

 Fourier-Transformation

Reihenentwicklungen: Damit können beliebige periodische Signale aus sin/cos-Funktionen unterschiedlicher Frequenz zusammengesetzt werden. Dadurch läßt sich das Verhalten technischer Systeme, die durch Differentialgleichungen beschrieben werden, unter dem Einfluß periodischer Eingangsgrößen analysieren.

 

Klirrfaktorberechnung: Der Klirrfaktor kn gibt das Verhältnis der Amplitude der Schwingung mit der Frequenz n× f0 (= (n-1).Oberschwingung) zur Amplitude der Grundschwingung an:

Der Gesamtklirrfaktor wird auf 2 Arten definiert: Effektivwert der Oberschwingungen geteilt durch den den Effektivwert der Gesamtspannung (k) oder bezogen auf den Effektivwert der Grundwelle (k´).

Der Klirrfaktor wird meist als Maß für die Übertragungsgüte in der Nachrichtentechnik verwendet.: Ein reiner Sinus wird verzerrt und erhält dadurch Oberschwingungen, die im Verhältnis zum Grundsignal natürlich möglichst klein sein sollen (z.B. < 2%). Vollaussteuerung bei Magnetbandaufzeichnungen ist beispielsweise jene Eingangsspannung, die bei 333 Hz gerade 5% Klirrfaktor erzeugt ("roter Bereich" bei Aussteuerungsinstrumenten)

 Fouriertransformation für nichtperiodische Funktionen

wird beispielsweise zur Lösung partieller Differentialgleichungen verwendet und spielt in der Nachrichtentechnik im Bereich Signalverarbeitung und Signalübertragung eine große Rolle.

Fouriertransformation für diskrete Daten (nicht periodischer Funktionsverlauf)

Analyse von Spektren jeglicher Art (Spektralanalysen) und Weiterverarbeitung (Glättung) von Meßdaten, die mit hohen Übertragungs- und Meßfehlern behaftet sind.

Mehrdimensionale Daten: Bildanalysen und Bildbearbeitung (Verbesserung der Bildschärfe,...) bei Ultraschall-Scannern, Röntgenaufnahmen, Satellitenbildern, usw.

FFT = "Fast Fourier Transform" = Gängige Methode zur numerischen Ermittlung des Frequenzspektrums von diskreten Daten (z.B. Meßdaten, Spektren,...).

Die direkte Berechnung erfordert bei 2× m Datenpunkten ungefähr (2m)2 Multiplikationen und (2m)2 Additionen. In der Praxis kommen durchaus mehrere Tausend Datenpunkte vor, sodaß durch etliche Millionen Multiplikationen bzw. Additionen Zeit- und gröbste Genauigkeitsprobleme auftreten.

Die 1965 entwickelte FFT reduziert die Anzahl der Rechenoperationen ganz erheblich und hängt eng mit der komplexen Fourierreihe zusammen. Die FFT wird inzwischen in vielen Mathematik-Softwarepaketen angeboten (z.B. Mathematica, Mathcad)

Das folgende Beispiel zeigt das Prinzip, wie ein verrauschtes Signal mit Hilfe der Fouriertransformation (zumindest teilweise) entrauscht (entstört) werden kann. Es wurde mit MATHCAD gelöst (siehe File RO_FFT.MCD auf der Diskette)

 

 

4. Rechenregeln zur Laplace-Transformation:

a) Transformationsgleichungen :

f(t)... Zeitfunktion
F(s)=L{f(t)}... Bildfunktion / Laplace-Transformierte (s=d +j× w )

 

 

5. Anwendungen der Laplace-Transformation:

 a) Allgemeines Prinzip zum Lösen von Differentialgleichungen :

Differential- und Integralgleichungen werden durch die Laplacetransformation zu algebraischen Gleichungen. Dies ermöglicht in vielen Fällen die symbolische Lösung vieler Differentialgleichungen, die sonst nicht bzw. nur sehr schwer lösbar sind. Für die Rücktransformation sind bei Verwendung von Tabellen häufig Zerlegungen in Teilbrüche ("Partialbruchzerlegungen") notwendig.

 

b) Berechnung von Ausgleichsvorgängen bei verschwindenden Anfangsbedingungen

("Symbolische Methode")

Bei vielen Ausgleichsvorgängen sind sämtliche Ströme und Spannungen bis zum Zeitpunkt des Schaltens t=0 Null. Damit verschwinden die Anfangsbedingungen und bei der Laplace-Transformation von Differentialen bzw. Integralen wird f(0) bzw. f-1(0) = 0. In solchen Fällen können die gemäß folgender Tabelle vereinfachten Transformationen verwendet werden, mit deren Hilfe (ähnlich wie bei der symbolischen Methode der Wechselstromtechnik) direkt die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion aufgestellt werden kann ( Anwendung des Ohm´schen Gesetzes und der Kirchhoff-Regeln im Bildbereich, siehe auch Beispiele)

 

 c) Übertragungsverhalten regelungstechnischer Glieder (Netzwerkberechnungen)

 

 Bei Kenntnis der Übertragungsfunktion G(s) kann daher nach dem folgenden Schema für jedes Eingangssignal x(t) das Ausgangssignal y(t) über die Laplacetransformation berechnet werden. Es ist dies ein ganz analoger Vorgang, wie er als "komplexe Methode in der Wechselstromtechnik" bekannt ist.

Übergangsfunktion (Sprungantwort) h(t)
Nennt man die Ausgangszeitfunktion y(t) eines Übertragungsgliedes bei einer sprungförmigen Eingangszeitfunktion x(t) = x·s (t).

Gewichtsfunktion (Stoßantwort) g(t)
Ist die Ausgangszeitfunktion y(t) eines Übertragungsgliedes bei einer impulsförmigen
Eingangsfunktion x(t) = d (t) .

Frequenzgang G(jw )
Beschreibt die Antwort des Übertragungsgliedes bei Aufschaltung harmonischer Schwingungen. Es gilt:

Der Frequenzgang von Übertragungsgliedern (Hochpaß, Tiefpaß, Bandpaß,...) kann meßtechnisch ermittelt oder berechnet werden. Eine zeichnerische Darstellung erfolgt über Ortskurven oder Frequenz-Kennliniendiagramme (meist BODE-Diagramm genannt). Im Bodediagramm wird statt dem Amplitudengang |G(jw )| üblicherweise die Spannungsverstärkung AdB in doppeltlogarithmischer Darstellung aufgetragen, wobei AdB in Dezibel angegeben folgendermaßen definiert wird:

Der Phasengang j (w ) wird üblicherweise in einfachlogarithmischer Darstellung gezeichnet.

Für aperiodische Eingangsgrößen x(t) kann die Berechnung der Ausgangsfunktion y(t) mit Hilfe des Frequenzganges G(w ) über die Fouriertransformation erfolgen:

 

 

Weitere mögliche Beispiele: e-Funktion, Sinusfunktion, Rechtecksschwingung (® Tabellen !)

7. Beispiele zum Lösen von Differentialgleichungen:

 B7 Differentialgleichung 2.Ordnung (Lösung mit Mathcad)

 8. Beispiele aus der Elektrotechnik

B8 Übertragungsverhalten eines Differenziergliedes (Symbolische Methode)

Annahme: Das System ist energielos zum Zeitpunkt t=0. Gesucht ist das Verhalten beim Anlegen eines Rechteckimpulses:

 

 Einsetzen für UE(s) und setzen von t = R× C ergibt schließlich die Laplace-Transformierte der Lösungsfunktion:

Rücktransformation mit Hilfe von Korrespondenztabellen und Berücksichtigung des Verschiebungssatzes (im Zeitbereich) ergibt nun:

 

B9 Sprungantwort eines RLC-Schwingkreises (Verwendung von Mathcad)

 

 

 Hier wird die Transformation in den Bildbereich auf 2 verschiedene Arten durchgeführt

 A) Transformation der Differentialgleichung aus dem Zeitbereich

Die Differentialgleichung im Zeitbereich lautet:

Laplace-Transformierte mit Berücksichtigung der Anfangsbedingungen u(0)=0, u´(0)=0)

Die Gleichung nach Uc(s) aufgelöst liefert die Lösung im Bildbereich:

B) Symbolische Methode

Berechnung der Übertragungsfunktion G(s)

 

Daher ist die Lösung im Bildbereich:

 Zum Aufsuchen des aperiodischen Grenzfalles (in Abhängigkeit von R) wird die Polstelle der Übertragungsfunktion bestimmt

  

liefert die Lösungen:

Der aperiodische Grenzfall liegt vor, wenn nur EINE (reelle) Polstelle vorliegt - dies entspricht dem Fall, daß die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung nur EINE reelle Lösung hat.

              daher: 

Berechnung der Lösung im Zeitbereich durch Rücktransformation von Uc(s)

 

 

 

 9. Literaturverzeichnis
Wichtig für den Unterricht sind entsprechende Korrespondenztabellen, die sich in fast jedem der unten angeführten Bücher sowie in manchen Lehrbüchern (z.B. Schärf, Band IV) finden. Ferner sei noch auf den Artikel "Laplace-Transformation" von Günther BÖCK in AMMU 10 / Beitrag 5 verwiesen. In zunehmenden Maße stellen auch Softwarepakete die Laplace-Transformation samt Rücktransformation zur Verfügung (z.B. Mathematica, Mathcad, zum Teil auch Derive).

 Doetsch,G.: Anleitung zum praktischen Gebrauch der Laplace-Transformation und der Z-Transformation. Oldenbourg Verlag, 1989 . ISBN 3-486-21310-5
(Standardwerk mit sehr ausführlichen Tabellen im Anhang)

Föllinger, Otto : Laplace- und Fouriertransformation.

AEG-Telefunken [Abt.Verl.], 1982 . ISBN 3-87087-125-3 (mathematisch anspruchsvolle, aber gut lesbare Darstellung mit vielen - auch praktischen - Beispielen. Zusätzliche Aufgaben incl. Lösungen. Zum (tieferen) Einlesen besonders zu empfehlen! )

 Haager, Wilhelm: Regelungstechnik

Hölder-Pichler-Tempsky, 1996, Schulbuch-Nr. 0863, ISBN 3-209-01903-7.

(HTL-Schulbuch, das auf ca. 25 Seiten eine sehr gut lesbare Einführung in die Laplace-Transformation liefert. Ist auch als Nachschlagewerk für regelungstechnische Begriffe und Aufgabenstellungen für den Mathematiker an einer elektrotechnischen Abteilung sehr gut geeignet)

Hörhager, M. - Partoll, H. : Problemlösungen mit Mathcad für Windows

Addison-Wesley, 1995, ISBN 3-89319-728-1 (Dieses Buch enthält viele für den HTL-Bereich interessante Beispiele, welche die Möglichkeiten demonstrieren, die das Softwarepaket "Mathcad" bietet - u.a. auch unter Anwendung der Laplace-, Fourier- und z-Transformation.)

Lindner, Helmut : Elektro-Aufgaben, Band III ; VEB Fachbuchverlag Leipzig.

("Kochrezeptartige" Einführung in die Aufgabengebiete der Elektrotechnik, die mit Laplace-Transformation gelöst werden. In erster Linie Aufgabensammlung mit kurz vorgerechneten Lösungen. Dieses Buch ist unter Fachkollegen der Elektrotechnik recht verbreitet)

Papula, Lothar : Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Übungen

Viewegs Fachbücher der Technik, 3.Auflage 1994. (enthält 9 ausführlich vorgerechnete und kommentierte Anwendungsbeispiele der Laplace-Transformation aus dem Bereich der Elektrotechnik. Die Theorie hierzu wird im gleichnamigen Lehrbuch im Band 2 behandelt)

Stingl, Peter : Mathematik für Fachhochschulen (Technik und Informatik)

Hanser Verlag, 5.Auflage 1996, ISBN 3-446-18668-9

(auf 30 Seiten wird unter dem Kapitel "Integraltransformationen" vorallem die Laplace-Transformation und ihre Anwendung in der Regelungstechnik etwa in dem Umfang dargestellt, der für die HTL relevant erscheint)

 Weißgerber, Wilfried : Elektrotechnik für Ingenieure 3 (Ausgleichsvorgänge, Fourieranalyse, Vierpoltheorie). Vieweg Verlag, 1991 . ISBN 3-528-04918-9

(sehr ausführliche, auf die Anwendungen in der Elektrotechnik bezogene Darstellung auf überraschend hohem mathematischen Niveau. Viele ausführlich durchgerechnete Beispiele. Enthält außerdem eine praxisorientierte Einführung in das Prinzip der Fouriertransformation samt Beispielen. Dieses Buch ist als eine Art "Schnittstelle" zu den fachtheoretischen Gegenständen Mathematiklehrern der elektrotechnischen Abteilungen zu empfehlen)