Günter Redl, Höhere technische Bundeslehr- und Versuchsanstalt Mödling

Kurzzusammenfassung:

Lehrplanbezug:

Zeitaufwand:

Mediales Umfeld:

1. Eine Ellipsenschar als Lösung einer exakten Differentialgleichung:

Ausgangspunkt der Überlegungen ist folgende exakte Differentialgleichung:

Lösung: (Details können im Beitrag 5 der AMMU Aussendung 11 nachgelesen werden)

Wir setzen P(x,y) = 10x+4y-32 und Q(x,y) = 16y+4x-56 und berechnen sowie . Die Integrabilitätsbedingung ist also erfüllt.

Wir erhalten die Lösung durch folgenden Ansatz: ; also gilt . wird mit Hilfe der Gleichung berechnet. Dazu leiten wir das soeben berechnete u(x,y) partiell nach y ab und setzen das Ergebnis gleich Q(x,y).

Es ergibt sich:

.

Das allgemeine Integral der Differentialgleichung in impliziter Form lautet also:

.

Visualisierung der Kurvenschar mit dem TI92:

 Um die Kurvenschar darzustellen, wird die Gleichung nach y aufgelöst. Die beiden Lösungen speichert man unter verschiedenen Namen und kann dann die Kurven im Grafikfenster darstellen (eine andere Möglichkeit wäre ein Umrechnen in Polarkoordinaten).

 Das Ergebnis läßt vermuten, daß es sich um eine Ellipsenschar handelt!

2. Darstellung einer speziellen Kurve in Hauptlage:

Um eine spezielle Kurve genauer zu analysieren, werden zwei Transformationen durchgeführt. Wir wählen die innerste Kurve (C = 80). Diese Kurve soll zuerst in Mittelpunktslage gebracht werden. Dazu wird sie um den Vektor (m_x / m_y) verschoben. Man ersetzt zuerst x durch x_a (x alt) und y durch y_a und anschließend x_a durch x + m_x und y_a durch y + m_y.

 In der neuen Gleichung sollen die linearen Glieder verschwinden. Durch Nullsetzen der Koeffizienten von x und y und Lösen des entstehenden Gleichungssystems erhalten wir m_x und m_y, also die Koordinaten des Mittelpunkts. Die neue Gleichung lautet: . Das Ergebnis wird wieder im Grafikfenster überprüft.

Zuletzt wird eine Drehung durchgeführt, welche die Kurve in eine symmetrische Lage bezüglich der Koordinatenachsen transformiert (4 Lösungen für den Drehwinkel, 2 für die gedrehte Kurve!). Eine Drehung um den Winkel j wird durch die Transformation erreicht.

In der so umgeformten Gleichung muß das gemischtquadratische Glied verschwinden. Man setzt daher den Koeffizienten von xy gleich 0 und löst die entstehende Gleichung nach j (Gleichung vor dem Lösen mit "tCollect()" umformen!!). Die Lösungsmenge dieser trigonometrischen Gleichung ist unendlich groß, daher enthält die TI 92 Lösung "nr". Diese Variable kann mit jeder ganzen Zahl belegt werden. Wir benutzen 0 und 1 und erhalten die zwei möglichen Kurvengleichungen (am Ende "Approximate Mode" benutzen oder durch " ENTER" erzwingen).

 Da die Drehwinkel nicht ganzzahlig sind, liefert der TI 92 keine absolut exakte Lösung. Wir adaptieren daher die Lösungen vor der Kontrolle im Grafikfenster:

 Das Ergebnis läßt vermuten, daß es sich um eine Ellipse mit den Halbachsen a = 3 und b = 2 handelt!

Die Gleichung der folgenden Ellipse mit gegebenen Halbachsen a und b soll berechnet werden:

Scheitel: A(-a/0); B(a/0); C(-b/0); D(b/0)

Brennpunkte: mit

Als Ansatz benutzt man die Brennpunktsdefinition der Ellipse: für jeden Punkt der Ellipse ist die Summe der Abstände zu den Brennpunkten konstant = 2a.

Für einen Ellipsenpunkt P(x/y) muß also gelten. Diese Gleichung wird mit dem TI 92 bearbeitet. Wie bei jeder Wurzelgleichung sind "händische" Umformungen notwendig. Man kommt jedoch rasch zum gewünschten Ergebnis:

 Die gesuchte Ellipsengleichung lautet: . Bei der speziellen Lösungskurve der ursprünglichen Differentialgleichung handelt es sich also tatsächlich um eine Ellipse mit den Halbachsen a = 3 und b = 2!