Wilfried Rohm, HTBL Saalfelden

Zum Inhalt dieses Artikels

Was hat ein Artikel über "Kopfrechnen" in einer Zeitschrift verloren,die sich im wesentlichen die Anwendung moderner Medien im Mathematikunterrichtzum Ziel gesetzt hat ?
Dieser Artikel will aufzeigen, daß "Kopfrechnen" in einem vielleicht(gegenüber dem Alltagsgebrauch des Wortes) etwas modifizierten Sinnmehr Augenmerk als in den vergangenen Jahrzehnten gewidmet werden sollte- gerade parallel zur Einführung moderner Medien!
Ferner soll durch verschiedene Übungsvorschläge demonstriertwerden, wie dies in der täglichen Unterrichtspraxis umgesetzt werdenkönnte. Es werden neben Ideen des Autors auch solche von Kollegendargestellt.

1. Drei Anekdoten:

Zunächst möchte ich von drei Begebenheiten berichten, dieich selbst erlebt habe (und die ich absichtlich nicht dem Schulalltag entnommenhabe) :

• Vor etwas längerer Zeit schlug meine Frau vor, wir sollten zusammenmit dem Auto zu einem Supermarkt fahren, weil dort gerade (laut Werbung)eine besonders günstige Waschmittelaktion laufe. Mein Einwand, imGeschäft ums Eck koste es auch nicht mehr, wenn man die Fahrtkostenrechne, fand kein Gehör. Etwas mißmutig (und daher kritischgestimmt) fuhr ich mit zum Supermarkt - und siehe da: Es gab wirklich 5-kg-Packungenals Aktionsangebot, doch interessanterweise war der Kilopreis der (nichtin Aktion angebotenen) 3-kg-Packungen günstiger, was eine entsprechendeKopfrechnung ergab! Ich nehme nicht an, daß dies sehr viele Konsumentenbemerkt haben. (Zu Hause angekommen, stellte sich übrigens heraus,daß dieselbe 3-kg-Packung im nahen Geschäft noch ein paar Schillingebilliger war ...)

• Vor zwei Jahren habe ich mit meiner Familie eine Radtour unternommen undauf einem Campingplatz übernachtet. Am nächsten Tag wurde mirfolgende Rechnung (schriftlich!) präsentiert (rechts ein Ausschnittaus der Originalrechnung):

 Besondere dabei war, daß die Frau Platzwart laut zusammenrechneteund dabei sowohl ihre Tochter (ca. 14 Jahre) als auch mich fragte : "Stimmt´s?".Nachdem die Tochter mit vollster Überzeugung "JA" gesagt hatte,konnte auch ich mir ein "JA" nicht verkneifen ... (gemein war derHinweis, ich sei ja schließlich Mathematiklehrer)

• Bei einem Bauern kaufte ich für den letzten Winter ca. 3 m³Brennholz. Ich wollte mit meinem ältesten Sohn (HTL-Schüler im3. Jahrgang) das Holz mit der Kreissäge abschneiden, und wir batenden Bauern, uns die 3 m³ ungefähr anzuzeichnen. Daraufhinging der Bauer ins Haus, holte einen Maßstab und einen Taschenrechner,den er meinem Sohn in die Hand drückte, und sagte:

2. Gegenwärtige Bedeutung des Kopfrechnens inder Schule

Ähnliche Begebenheiten wie die eben geschilderten kommen sicherlichständig auch im Schulalltag vor. Doch da wird meist kurz gelacht,vielleicht riskiert der Lehrer einen resignierenden Blick, schimpft kurz- und dann wird wieder weiter (mit dem Taschenrechner) gerechnet.Doch machen wir uns es damit nicht etwas zu leicht?
"Non scholae sed vitae discimus" ("nicht für die Schule,sondern für das Leben lernen wir") - schließlich begründenwir gerade mit Hilfe dieses elementarsten aller Lehrprinzipien unter anderemden Einsatz der modernen Rechenhilfen wie Taschenrechner, Computeralgebrasysteme,Tabellenkalkulationsprogramme usw. Ich will daher auch kein "Maschinenstürmer"sein, sonst wäre ich wohl kaum in der "Arbeitsgemeinschaft ModernerMathematikunterricht" tätig.
Trotzdem: Obige Beispiele und unsere alltäglichen Erfahrungenmachen nachdenklich. Und wird mit der absehbaren allgemeinen Einführungvon Computeralgebrasystemen in Oberstufenformen dieses Problem nicht nochgravierender werden? Wir wissen ja schließlich, daß die Einführungdes Taschenrechners trotz seiner unbestreitbaren Vorteilen zu einer eklatantenKopfrechenschwäche geführt hat. Droht gar der mathematische Analphetismus,ist nicht ein Kulturgut in Gefahr verloren zu gehen? Wie soll daraufreagiert werden?
Nach meinen Beobachtungen und Erfahrungen kann man davon ausgehen,daß "Kopfrechnen" in unserer heutigen Schule so gut wie nicht geübtoder gar gelehrt wird - dies gilt im Prinzip schon ab den Unterstufenformen,einzig die Volksschule stellt hier noch eine Ausnahme dar.
Im Bereich der HTL wird zwar immer wieder von der Bedeutung der Überschlagsrechnungengesprochen. Sie werden auch nach einem mehr oder weniger starr vorgegebenemSystem im 1. Jahrgang in Zusammenhang mit den Zehnerpotenzen (eher isoliertvom sonstigen Lehrstoff) ein paar Stunden gelehrt und geübt - derSchüler sieht aber seit der Abschaffung des Rechenschiebers meistwenig Sinn dahinter und ist froh, bald wieder zur Normalität (= Tippenam Taschenrechner) zurückkehren zu können.
Dabei gibt es immer wieder Gelegenheiten, die beim Schopf zu ergreifenwären: Ein Schüler erzielt (durch Vertippen) ein völligunrealistisches Ergebnis. Anstatt zu schimpfen, daß der Schüler"nicht einmal tippen" kann, sollte man froh über diese Chance sein.Man könnte Fragen stellen:

• In welcher Größenordnung muß das Ergebnis (rein überschlagsmäßig)liegen?
• Gibt es sachliche Gründe, die das Ergebnis auf einen bestimmten Bereicheinschränken?
• Kann man durch Skizzen (z.B. von Funktionen ...) das Ergebnis schätzen?

Sicher geschieht dies hie und da. Aber ich glaube, daß statt sporadischerFragen eine grundsätzliche Einstellung dem Schüler vermitteltwerden sollte - eine Art mathematisches Unterrichtsprinzip.

Im Jahre 1995 wurde an der Linzer Johannes-Kepler-Universität eineUmfrage unter 587 Studenten des ersten Studienabschnittes der sozial- undwirtschaftswissenschaftlichen Fakultät durchgeführt. Das Ergebnislaut den O.Ö. Nachrichten vom 14.11.95 : "Nur etwas mehr alszwei Drittel sind in der Lage, bei der Multiplikation zweier Dezimalzahlenim vorgegebenen Ergebnis den Dezimal-strich an die richtige Stelle zu setzen.... Die Frage: "Wieviel Prozent sind 30% von 70%?" (richtiges Ergebnis:21% ) wurde gar nur von drei Fünftel der Befragten richtig beantwortet".

Gerade das letzte Beispiel zeigt, daß auch im Alltag "Kopfrechnen"eigentlich für jeden wichtig ist. Aussagen wie "60% der Grünwählersind Frauen" oder ähnliches sind an der Tagesordnung. Wenn also selbstin geistigen Eliteschichten (Studenten sollten wohl dazugehören) dasZahlengefühl derart abhanden kommt, scheint mir Handlungsbedarf auchan höheren Schulen gegeben, wenn nicht die Horrorvision des "mathematischenAnalphetismus" wahr werden soll!

3. Was ist "Kopfrechnen"?

Grundsätzlich möchte ich den Begriff weiter fassen: Unter"Kopfrechnen" verstehe ich einen Sammelbegriff, der etwa folgende Punkteumfaßt:

a.    Das rein zahlenmäßige Ermittelneinfacher Rechenaufgaben im Kopf in allerdings gegenüber früherenErfordernissen weit reduziertem Ausmaß (also etwa "5% von 110", abernicht "27× 23") - es geht also darum,jene Fertigkeiten zu beherrschen, die heute im Alltag tatsächlichrechnerunabhängig benötigt werden.

b.    Zahlengefühl: Dies ist einreichlich diffuser Begriff. Er wird aber wohl meist in dem Sinn verwendet,daß man in der Lage ist, das Ergebnis einer Rechnung abschätzenbzw. auf mögliche Richtigkeit schnell überprüfen zu können.
Neben Überschlagsrechnungen im klassischen Sinn gehören dazuauch die gar nicht so seltenen Fragestellungen, bei denen gar keine exaktenErgebnisse möglich sind, weil bereits die Ausgangsgrößenabgeschätzt werden müssen (die vorliegenden Informationen sindzu dürftig für Detailrechnungen).

c.    Ein Gefühl für mathematische Funktionen.Dies äußert sich z.B. in der Fähigkeit, Standardfunktionenzeichnen und Änderungen der Parameter qualitativ beurteilen zu können,oder auch darin, sofort zu wissen, daß ln(1) gleich 0 seinmuß (und auch warum).

Im Prinzip wird wohl jeder Mathematiklehrer (mit vielleicht etwas unterschiedlicherGewichtung) diese Punkte für wichtig erachten. Das Problem liegt eherdarin, wie man diese Punkte in den Unterricht einbaut bzw. den Schülernklarmacht, daß dies wichtige Ziele des Mathematikunterrichtes sind.Es nützt nichts zu schimpfen, daß die Schüler etwas Bestimmtesnicht können, man muß auch die Zeit investieren und es ihnenbeibringen!

4. Kopfrechenübungen: 

Seit dem Beginn meiner Lehrertätigkeit führe ich in allenJahrgängen (mit unterschiedlicher Regelmäßigkeit) sogenannte"Kopfrechenübungen" durch. Ich versuche, durchschnittlich etwa eineKopfrechenübung monatlich durchzuführen (bevorzugt in eventuellenDoppelstunden am Anfang der 2. Stunde), der Zeitaufwand inclusive einerausführlichen Nachbesprechung bewegt sich bei ungefähr 15 Minutenpro Übung (manchmal bis zu 20 Minuten).

Durchführung:

Der Schüler legt sich eine Numerierung von 1 - 20 im Heft an. DaKonzentration ganz wesentlich ist, wird gewartet, bis wirklich Ruhe ist.Nun werden die einzelnen Beispiele angesagt. In der Regel wird jede Aufgabenstellungeinmal wiederholt - nur die letzten 5 oder 6 Aufgaben werden jeweils nureinmal (und mit abgekürzten Zeitintervallen) genannt. Der Schülersoll das ERGEBNIS (und nur dieses!) ins Heft schreiben, falls es ihm zuschnell geht, muß er einen Strich eintragen. Im Anschluß daranwerden alle Beispiele durchgegangen und eventuelle Probleme, Lösungswegebzw. vorteilhafte und weniger vorteilhafte "Denkvorgänge" besprochen.

Beispiele:

1.Jahrgang:

1.    -32
2. 17 12
3. 0,03 g in kg 
4. Überschlagsrechnung:  
5. Überschlagsrechnung:  
6. 
7.    12 kg kosten 180 S ,wieviel kostet 1 kg ?
8. 15% von 60
9. 

Die Beispiele zeigen, daß man auch elementare Grundkenntnisse derMathematik abfragen bzw. überprüfen kann, ob diese auch wirklich(ohne langes Nachdenken) parat sind. Darüber hinaus könnendie Übungen auch zur Wiederholung bzw. Festigung vom im Unterrichteben oder kürzlich Gelerntem dienen, wie die nachfolgenden Aufgabenstellungenzum Teil aufzeigen:
 

2. Jahrgang:
1. 122-25+36
2. 
3. 
4.  (Ergebnis in der Form )
5. 0,5 nm in    (Ergebnis in der Form )
6. Schätzung: ln(0,1)
7. Schätzung: ln(10)
8. Formulierung des Sinussatzes
9. ;t = ?
10. (Vereinfachen)
11. arcsin 1 = ? (Ergebnis in Radiant)
12. 
13. Grobe Ü-Rechnung:Wieviel Sekunden hat ein Jahr ?
14. Schätzung: 
15.
______________________________________________________________________
16. cos(0)        (ab hier nur einmalige Angabe mit kurzen Abständen)
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 17-36

3. Jahrgang :

1. 122-13,7
2. 
3. 817-900
4. 156+248
5. 3% von 32
6. Schätze:
7. 
8. 1.Ableitung von 
9. 
10. 
11. Der Höhensatz im rechtwinkeligenDreieck
12. arctan 1
13. 
14. 10 in Dualzahl umwandeln
15. 
___________________________________________________________________
16.                     (ab hier nur einmalige Angabe mit kurzen Abständen)
17. 
18. 112:8
19. 
20. 

Im 4. Jahrgang verwende ich (ähnlich wie im 3. Jahrgang) die Kopfrechenübungenvorwiegend zur Wiederholung von Stoffgebieten aus dem 1. und 2. Jahrgang.Sie sollen mithelfen, einen fundierten mathematischer Grundstock zu schaffen,der jederzeit verfügbar ist. Man kann und soll dabei auch auf dieBedürfnisse der jeweiligen Abteilung eingehen. Die nachfolgende Übungwurde in einem 3. und 4. Jahrgang Elektrotechnik zu Vergleichszwecken durchgeführt.

 4. Jahrgang:

1. 
2. 32-157
3.
4. Überschlag : 
5. Überschlag : 
6. Schätzung : sin(0,2 rad)
7. Schätzung : 
8. Schätzung : 
9. Schätzung : 
10. Schätzung : ln(100) (richtig von 4-5)
11. inVersorform umrechnen ()
12. inKomponentenform ()
13. 15-32+48
14. als Zehnerpotenz abschätzen ()
__________________________________________________________________________________________
15.                             (ab hier nur einmalige Angabe mit kurzen Abständen)
16. 
17.  30% von 70%
18. 34 in Hexadezimalzahl umwandeln ()
19. in Dezimalzahl umwandeln ()
20. ()

Bewertung:

Ich bin der Meinung, daß ständiger Notendruck die Lern- undLeistungsbereitschaft hemmt. Daher werden diese Übungen prinzipiellNICHT benotet (ansonsten wären ja wohl Schwindel- und Abschreiborgiendie Folge). Im Vordergrund soll ein gewisser Spaß an der Sache undder Ansporn für jeden persönlich stehen, besser als zuletzt abzuschneiden.Daß ich den jeweils besten doch ein "KR+" (= Kopfrechenübungs-Plus)eintrage, wäre vielleicht entbehrlich, soll auf der anderen Seiteaber auch eine Anerkennung einer positiven Leistung sein (sonst stehenja meistens die negativen im Vordergrund).

Erfahrungsbericht

Der Großteil der Schüler hat diese Übungen insofernganz gern, wie man halt hin und wieder ganz gerne Denksportaufgaben löst.Interessant ist, daß fast immer im Lauf der Zeit ein positives Wettbewerbsklimaentsteht. Erfahrungsgemäß gibt es aber in jeder Klasse einigeSchüler, die fast bei jeder Übung die Schlußlichter (mit10 oder mehr falschen Ergebnissen) sind. Für diese (allerdings wenigen)Schüler sind Kopfrechenübungen dieser Art verständlicherweisenegativ besetzt.
Im Hinblick auf diesen Artikel habe ich die zuletzt angeführteKopfrechenübung in einer Supplierstunde für einen 3. Jahrgang(den ich nicht in Mathematik unterrichte) zur Ermittlung von Vergleichsdatenverwendet. Zuvor hatte ich diese in "meiner" Klasse (4. Jahrgang) durchgeführt.

4.Jg. Elektrotechnik: Von 18 Schülern hatten die besten 4 jeweils17 (von 20) richtige Ergebnisse. Ein Schüler hatte weniger als dieHälfte richtig.

3.Jg. Elektrotechnik: Von den ebenfalls 18 Schülern hatte derbeste Schüler 15 (von 20) richtige Ergebnisse, der nächstbestehatte nur 13 richtige. Genau 50% der Schüler (also 9) hatten wenigerals 10 Aufgaben richtig gelöst.

Da ich den 3. Jahrgang auch kenne und weiß, daß dessen Schülernicht prinzipiell "dümmer" sind, glaube ich schon, daß diesesstark unterschiedliche Ergebnis zeigt, was einigermaßen regelmäßigesTraining bewirken kann! Natürlich ist einschränkend zu sagen,daß die Schüler des 4. Jahrganges gewisse Fragestellungen vonmir "schon gewohnt" waren, während für die Schüler des 3.Jahrganges der "Überraschungseffekt" dazukam.

5. Weitere Übungsvorschläge:

Unter 3. habe ich versucht, zu definieren, was ich unter Kopfrechnenverstehe:

a. Ermitteln einfacher Rechenaufgaben im Kopf
b. Zahlengefühl
c. Gefühl für mathematische Funktionen

Natürlich kann nicht eine Übungsidee allen diesen Ansprüchenvoll gerecht werden. Ich habe daher versucht, für diesen Artikel weitereIdeen und Vorschläge zusammenzutragen. Nicht alle davon habe ich bereitsim Unterricht getestet.

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6. Resümee :
Die dargestellten Übungen haben trotz ihres unterschiedlichen Charakterseines gemeinsam: Sie sollen beim Schüler - sicherlich auch durch gewissesTraining - mehr Flexibilität im Umgang mit mathematischem Grundwissenerzeugen. Oder anders ausgedrückt: eine Grundlage soll geschaffenwerden, damit der Schüler auch komplexe Probleme - die er schließlichnur mit Hilfe des Computers/Taschenrechners lösen wird - vom Ergebnisher kritisch durchleuchten kann. Ich glaube, daß dies von einem Ingenieur(gleich welcher Fachrichtung) auch heute noch erwartet wird.

Unser Ziel sollte in diesem Sinne lauten: "Moderne Hilfsmittel zielführendeinsetzen können" (siehe Bildungs- und Lehraufgabe im Lehrplan),ohne allerdings von ihnen versklavt zu werden!