| Funktionen in zwei Variablen |
Mathematische Inhalte:
Darstellung von Funktionen in zwei Variablen im kartesischen Koordinatensystem
und in Tabellen.
Kurzzusammenfassung:
Anhand von bereits bekannten Formeln
wird der Begriff einer Funktion in zwei Variablen eingeführt. Anschließend
werden die Funktionen in zwei Variablen graphisch und in Tabellen dargestellt.
Anmerkungen:
Die ideale Gasgleichung könnte
man auch im Physikunterricht in der Wärmelehre einsetzen.
Lehrplanbezug:
Derzeitiger Lehrplan: 4.Jahrgang. Neuer Lehrplan: 3.Jahrgang.
Mediales Umfeld:
Verwendete Medien: TI-92 und DERIVE 3.04
In den "unteren" Jahrgängen
haben wir uns mit Funktionen in einer Variablen, meistens von der Form
y = f(x) beschäftigt.
Wenn wir aber Formeln genauer
betrachten, so treten dort sehr häufig Abhängigkeiten auf, die
von mehreren physikalischen Größen (Variablen) abhängen.
Anhand bekannter Formeln möchte ich diese Problematik aufzeigen:
a. Kinematik: s=vt;
d.h. der Weg s ist von der Geschwindigkeit v und der Zeit
t abhängig, also s ist eine Funktion von v und
t. Dies bringt man durch s= s(v,t) zum Ausdruck.
b. Dynamik: F =
m.a; d.h. die Kraft F ist von der Masse m
und der Beschleunigung a abhängig, also F ist eine Funktion
von m und a.[ F = F(m,a) ]
c. Elektrizität:
R = U. I; der elektrische Widerstand R ist von
der elektrischen Spannung U und der elektrischen Stromstärke
I abhängig. [ R = R(U, I)]
d. Darstellung eines Punktes
im kartesischen Koordinatensystem: Bei
jedem Punkt P(x/y/z) des Raumes kann z.B. die z-Koordinate als abhängige
Variable der unabhängigen Variablen x und y aufgefasst werden. [ z
= z(x,y) oder z = f (x,y) ]. Betrachet man eine Menge von geordneten Paaren
(x,y), so wird diesen (x,y)-Paaren eine Fläche zugeordnet.
Durch die Funktionsgleichung z = f(x,y) wird jedem Zahlenpaar (x,y) genau ein Funktionswert z zugeordnet. Das Zahlentrippel (x,y,z) wird als kartesische Koordinate eines Punktes des Raumes R3 gedeutet. Wird nun jedem Zahlenpaar aus der Definitionsmenge ein Raumpunkt zugeordnet, so erhält man eine Fläche.
Graphische Darstellung:
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Das Volumen V ist eine Funktion der Grundkante x und der Höhe y; kurz V = V(x,y) oder V=f(x,y).
Um eine Funktion in zwei Variablen darstellen zu können, müssen einige Einstellungen vorgenommen werden. Durch Drücken der Taste [MODE] gelangt man in folgendes Menü
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| Durch Drücken des Cursors nach rechts und Auswahl von 5:3D und Drücken von [ENTER] [ENTER] wird der 3D-Modus aktiviert. | ||
Mit
[ ][W] gelangt man in den Editor,
indem die Funktionsgleichung eingeben wird. |
Mit [][E]
gelangt man in den Editor, indem die Parameter eingeben bzw. geändert
werden. |
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und 
ab. Diese können
im Windows-Bereich geändert werden.
Die y-Koordinate gibt die Höhe,
die x-Koordinate die Grundkante und die z Koordinate das Volumen des Prismas
an.
| Mit [][R]
gelangt man in das Graphikfenster. |
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Aktiviert
man [F3] (Trace) so kann man
mit dem Cursor sich entlang der einzelnen "Linien" bewegen und den linearen bzw. quadratischen Zusammenhang zwischen den einzelnen Variablen erkennen. |
und sollen nun
geändert werden und die Auswirkungen auf die Graphik werden sofort
"sichtbar". Je größer man xgrid bzw. ygrid wählt, desto
genauer wird die Graphik; gleichzeitig nimmt aber die Zeichengeschwindigkeit
ab.
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Stellt man im Windows-Bereich z.B.
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Man kann natürlich das Volumen als Funktion der Grundkante, bei konstanten Höhen darstellen.
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Die Gleichung eines idealen Gases lautet: p. V = n. R. T, wobei p den Druck in Pascal, V das Volumen in m3, n die Anzahl der Mole in mol, R =8,31 JK-1.mol-1 die universelle Gaskonstante und T die absolute Temperatur in Kelvin bedeuten.
Für die weiteren Betrachtungen setzen wir die Molzahl n= 1:
Es werden zunächst einige Einstellungen durchgeführt:
Eye: 25,25, 150; Auto: Yes
Lenght:10,10,150; Auto: No
Center: 5,5,0; Auto: No
Grids: x:20,y:20;
Focal: x:5,y:5,z=0; Auto:
No
Auf der x-Achse wird die absolute Temperatur T, auf der y-Achse das Volumen V und auf der z-Achse der Druck p aufgetragen.
Betrachtet man zunächst T = const. und dann V = const., so erhält man die Isothermen und die Isochoren eines idealen Gases.
Durch Änderungen der Parameter Eye, Lenght, Center, Grids und Focal werden bei der 3D-Dar-stellung bei DERIVE natürlich auch Änderungen der Flächendarstellung erzielt.
Der Vorteil vom TI-92 gegenüber DERIVE bei solchen Aufgabenstellungen ist, dass man auch Funktionen mit 2 Variablen abtasten und den Definitionsbereich einschränken kann.
Wichtig ist, dass die Schüler einen Zusammenhang zwischen einer 3D-Graphik und einer 2D-Graphik erkennen. Mit dem TI-92 kann das sehr schön mit Hilfe der Trace-Funktion gezeigt werden. D.h. so-lange man sich auf einer "Kurve" der 3D-Graphik befindet, bedeutet dies, dass eine der beiden Variablen konstant ist.
Für eine optimale 3D-Graphik( Einstellung der Parameter) gibt es kein Patentrezept.
Darstellung in Tabellenform: (mit Derive)
Kinematik: 
Die Funktionstabelle besitzt die
Struktur einer Matrix. Die Spalten dieser Matrix geben die Wege zu einer
bestimmten Geschwindigkeit v ( v =10 bis 50 ms –1)
und einer fest vorgegebenen Zeit t an. Die Zeilen geben die Wege
zu den Zeiten t (t = 0 bis 6s) bei einer bestimmten Geschwindigkeit
an.
,
so entspricht dies einer Darstellung in einer Ebene.